Indexverschiebung

Beispiel 1: Indexverschiebung Summe

$a_i$ stehe für $i^2$ (der Laufindex wird also quadriert) und die Summe laufe von 1 bis 4.

Dann ist die "unverschobene" Summe:

$$\sum_{i=1}^4 a_i$$

$$= \sum_{i=1}^4 i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$$

$$= 1 + 4 + 9 + 16 = 30$$

Verschiebt man den Index zum Beispiel um m = 2, ergibt sich (mit $a_{j-2} = (j-2)^2$):

$$\sum_{j=2+1}^{4+2} a_{j-2}$$

$$= \sum_{j=3}^6 (j - 2)^2$$

$$= (3-2)^2 + (4-2)^2$$

$$+ (5-2)^2 + (6-2)^2$$

$$= 1 + 4 + 9 + 16 = 30$$

Warum Indexverschiebungen?

Der Wert der Summe hat sich nicht geändert – und das gilt allgemein, sonst hätte man keine Umformung, sondern einen neuen Term. Warum also Indexverschiebungen?

Für eine Indexverschiebung kann es mehrere Gründe geben:

• der Term wird dadurch vereinfacht (im Beispiel oben haben wir den Term eher komplizierter gemacht: nach der Transformation hatten wir eine Differenz, die quadriert werden muss statt (einfacher) eine Zahl, die quadriert werden muss; der Weg geht aber natürlich auch umgekehrt, in Richtung Vereinfachung (wie im unteren Beispiel);
• es gibt eine weitere Summe, die einen anderen Laufindex hat und an die man sich angleichen möchte, um Terme anschließend unter einem Summenzeichen zusammenfassen zu können.

Gäbe es beispielsweise noch eine zweite Summenformel:

$$\sum_{j=3}^{6} 2 \cdot j$$

könnte man statt

$$= \sum_{j=3}^6 (j - 2)^2 + \sum_{j=3}^{6} 2 \cdot j$$

schreiben (da beide Summen über denselben Index laufen):

$$= \sum_{j=3}^6 [(j - 2)^2 + 2 \cdot j]$$

Beispiel 2: Indexverschiebung Produkt

Aus

$$\prod_{i = 3}^4 (i -2)^2 = (3 - 2)^2 \cdot (4 - 2)^2$$

$$= 1^2 \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4$$

wird durch eine Indexverschiebung

$$\prod_{j = 1}^2 j^2 = 1^2 \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4$$

Hier ist der „verschobene“ Term einfacher.

Fazit

Indexverschiebungen ändern nicht das Ergebnis der Summe oder des Produkts, sondern machen 1) Berechnungen im Term einfacher und 2) Summen bzw. Produkte „gleichnamig“, um diese zusammenfassen zu können.