Definition
Mit dem Produktzeichen $\prod$ kann man Produkte bzw. Multiplikationen kurz darstellen.
$\prod$ ist ein griechisches Symbol, gesprochen "Pi".
Beispiele
Beispiel Produktzeichen
$$\prod_{i = 1}^4 i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$$
Ein Computer würde das als Schleife mit 4 Durchläufen abarbeiten:
- im ersten Durchgang ist i = 1, das Zwischenergebnis ist 1;
- im 2. Durchgang wird i um 1 erhöht, ist also 2 und wird mit dem Zwischenergebnis multipliziert, das neue Zwischenergebnis ist 2;
- im 3. Durchgang wird i um 1 erhöht, ist also 3 und wird mit dem Zwischenergebnis multipliziert, das neue Zwischenergebnis ist 6;
- im 4. und letzten Durchgang wird i um 1 erhöht, ist also 4 und wird mit dem Zwischenergebnis multipliziert, das Endergebnis ist 24.
Weitere Beispiele:
$$\prod_{i = 1}^3 i^2 = 1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 = 1 \cdot 4 \cdot 9 = 36$$
$$\prod_{i = 2}^3 2 \cdot i = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) = 4 \cdot 6 = 24$$
Fazit
- Das Produktzeichen $\prod$ ist die Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation – das multiplikative Pendant zum Summenzeichen $\sum$.
- $\prod_{i=a}^{b} f(i) = f(a) \cdot f(a{+}1) \cdot \ldots \cdot f(b)$: Der Index i läuft von a bis b, jeder Wert wird multipliziert.
- Beispiel: $\prod_{i=1}^{4} i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
- Das leere Produkt (obere Grenze < untere Grenze) ist per Definition 1, nicht 0.
Selbsttest: Produktzeichen
Was ist das Produktzeichen $\prod$?
Wahr oder Falsch?
$\prod$ und $\sum$ haben dieselbe Bedeutung.
Wahr
Falsch
$\prod_{i=1}^{4} i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$
Wahr
Falsch
Das leere Produkt (keine Faktoren) hat den Wert 0.
Wahr
Falsch
Welche Aussagen zum Produktzeichen sind richtig? (Mehrfachauswahl)
Auswahl prüfen
Was ergibt $\prod_{i=2}^{3} 2i$?
Nochmal versuchen
Aufgabe: Produktzeichen
Berechnen Sie den Ausdruck $\prod_{i=1}^{5} \dfrac{i+1}{i}$.
Lösung anzeigen
Ausmultiplizieren: $\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{6}{5}$
Kürzen (Teleskopprodukt): Benachbarte Zähler und Nenner kürzen sich heraus – im Zähler bleibt 6, im Nenner 1.
Ergebnis: $\dfrac{6}{1} = 6$