Satz von Vieta

Satz von Vieta Definition

Mit dem Satz von Vieta kann man u.U. quadratische Gleichungen durch Ausprobieren lösen. Voraussetzung: es muss 2 (ganzzahlige) Lösungen (x1 und x2) für die quadratische Gleichung geben.

Beispiel

Die Gleichung 2x2 + 2x - 12 = 0 soll gelöst werden.

Das ist dieselbe Gleichung wie bei der p-q-Formel und die ersten Schritte der Umformung sind gleich:

Um den Satz von Vieta anwenden zu können, muss das x2 ohne einen Multiplikator stehen (also ohne die 2 davor) und die Gleichung gleich 0 gesetzt sein (das ist sie hier schon; sonst müsste man vorher umformen).

Die allgemeine Form der Gleichung ist x2 + px + q = 0.

In der obigen Beispielgleichung müssen zunächst beide Seiten durch 2 geteilt werden, um die 2 vor dem x2 wegzubekommen; daraus resultiert x2 + x - 6 = 0.

Der Satz von Vieta besagt nun für p und q:

p = -(x1 + x2) und q = x1 × x2

In der obigen umgeformten Beispielgleichung ist p = 1 und q = -6.

Nun kann man Werte für x1 und x2 ausprobieren, am besten zunächst für q = x1 × x2:

  • -6 = -1 × 6; dann wäre allerdings p = -(-1 + 6) = -5 und damit nicht gleich 1 (also falsch).
  • -6 = -2 × 3; dann wäre allerdings p = -(-2 + 3) = -1 und damit nicht gleich 1 (also auch falsch).
  • -6 = -3 × 2; dann wäre p = -(-3 + 2) = 1; das passt.

Es gibt also 2 Lösungen für x: x1 = -3 und x2 = 2.

Kontrolle (Einsetzen der beiden x-Werte in die Gleichung):

2 × 22 + 2 × 2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0

2 × (-3)2 + 2 × (-3) -12 = 18 - 6 - 12 = 0

Das Ausprobieren kann etwas dauern; die p-q-Formel wäre hier wohl schneller.

Dafür bringt der Satz von Vieta also wenig. Man kann aber z.B. schnell kontrollieren, ob (anderweitig) gefundene Lösungen stimmen:

x1 × x2 = -6

(-3) × 2 = -6

Oder wenn man eine Lösung hat, kann man schnell die andere ausrechnen (wenn es denn zwei gibt), z.B. wenn x1 = -3 bekannt ist:

(-3) × x2 = -6

-x2 = -2

x2 = 2

Alternative Begriffe: Satz des Vieta, Wurzelsatz von Vieta.