Definition
Den Kehrwert erhält man, indem man Zähler und Nenner vertauscht.
Wofür?
Damit kann man Brüche multiplizieren statt dividieren.
Oder Gleichungen umformen.
Alternative Begriffe: Reziproke, reziproke Zahl, reziproker Wert.
Beispiele
Beispiele für Kehrwerte
Der Kehrwert von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$ (auch als Kehrbruch bezeichnet).
Manchmal ist es nicht so offensichtlich: der Kehrwert von 2 ist $\frac{1}{2}$, da man 2 auch als $\frac{2}{1}$ schreiben kann. Der Kehrwert von 2 kann auch als $2^{-1}$ geschrieben werden.
Der Kehrwert von 2,5 ist $\frac{1}{2,5}$, der Kehrwert von -4,7 ist $\frac{1}{-4,7}$.
0 hat keinen Kehrwert.
Wert mal Kehrwert = 1
Multipliziert man einen Wert mit seinem Kehrwert, ergibt das immer 1:
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$$
Kehrwert multiplizieren
Statt durch eine Zahl zu teilen, kann man mit ihrem Kehrwert multiplizieren (was oft einfacher ist, im folgenden Beispiel eher nicht):
$$6 : 3 = 6 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$$
Gleichungen umformen
Wir nehmen die Gleichung $\frac{1}{x} = 4$.
Der übliche Weg wäre jetzt, beide Seiten mit x zu multiplizieren (daraus folgt 1 = 4x) und anschließend beide Seiten durch 4 zu teilen (daraus folgt 1/4 = x).
Wir können aber auch für beide Seiten den Kehrwert bilden und die Lösung direkt ablesen:
$$\frac{x}{1} = \frac{1}{4}$$
Fazit
- Den Kehrwert erhält man durch Vertauschen von Zähler und Nenner: $\dfrac{a}{b} \to \dfrac{b}{a}$.
- Wert × Kehrwert = 1: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a} = 1$ (multiplikatives Inverses)
- Division durch a = Multiplikation mit $\dfrac{1}{a}$: $x : a = x \cdot \dfrac{1}{a}$
- 0 besitzt keinen Kehrwert (Division durch 0 ist nicht definiert).
Selbsttest: Kehrwert
Aufgabe: Kehrwert
Vereinfachen Sie: $\dfrac{4}{5} : \dfrac{8}{15}$
Kehrwert bilden: Kehrwert von $\dfrac{8}{15}$ ist $\dfrac{15}{8}$
Division umschreiben: $\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{15}{8} = \dfrac{4 \cdot 15}{5 \cdot 8} = \dfrac{60}{40}$
Kürzen: $\dfrac{60}{40} = \dfrac{3}{2}$