Stammfunktion Logarithmus

Stammfunktion Logarithmus Definition

Stammfunktion des natürlichen Logarithmus ln(x)

Eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus $ln(x)$ – das heißt, eine Funktion, die abgeleitet $ln(x$) ist – ist

$$F(x) = x \cdot (ln(x) - 1)$$

oder ausmultipliziert:

$$F(x) = x \cdot ln(x) - x$$.

Nachweis

Die Stammfunktion $F(x) = x \cdot (ln(x) - 1)$ ist ein Produkt aus x und (ln(x) - 1).

Um diese Funktion abzuleiten, ist deshalb die Produktregel notwendig:

Zur Erinnerung: die Produktregel lautet allgemein als Formel:

$$y = g(x) \cdot h(x) \to$$

$$y' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$$

Hier sind die beiden multiplizierten Funktionen g(x) = x und h(x) = ln(x) - 1.

Die mit der Produktregel gebildete 1. Ableitung der Funktion ergibt sich daraus, dass

  • der erste Term x abgeleitet wird (das ergibt 1) und mit dem zweiten Term ln(x) - 1 multipliziert wird,
  • der zweite Term ln(x) -1 abgeleitet wird (ergibt als Ableitung des natürlichen Logarithmus 1/x, die -1 fällt als Konstante beim Ableiten weg) und mit dem ersten Term x multipliziert wird,
  • und diese beiden Produkte dann addiert werden.

$$f'(x) = 1 \cdot (ln(x) - 1) + x \cdot \frac{1}{x}$$

$$= ln(x) - 1 + \frac{x}{x}$$

$$= ln(x) - 1 + 1$$

$$= ln(x)$$

Auch

$$F(x) = x \cdot (ln(x) - 1) + 2$$

oder allgemein

$$F(x) = x \cdot (ln(x) - 1) + C$$

mit einer Konstanten C sind Stammfunktionen des Logarithmus, da bei der Ableitung die Konstanten wegfallen; letztere ist die allgemeine Stammfunktion.

Stammfunktion der Logarithmusfunktion loga (x)

Die obige Stammfunktion $F(x) = x \cdot (ln(x) - 1) + C$ war die des natürlichen Logarithmus ln(x).

Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion $log_a (x)$, bei der a beispielsweise 2 (dualer Logarithmus) oder 10 (dekadischer Logarithmus) statt wie beim natürlichen Logarithmus $e$ (Eulersche Zahl) sein könnte, ist ähnlich, aber etwas erweitert:

$$F(x) = \frac{1}{ln(a)} \cdot x \cdot (ln(x) - 1) + C$$

Alternative Begriffe: Aufleitung von ln x, Integral Logarithmus, Integration Logarithmus, Stammfunktion ln, Stammfunktion von ln x.