h-Methode
h-Methode Definition
Mit der h-Methode kann die 1. Ableitung einer Funktion (bzw. die Steigung eines Funktionsgraphen) berechnet werden.
Ausgangspunkt ist der Differenzenquotient (dieser hat im Nenner die Änderung der x-Werte und im Zähler die sich daraus ergebende Änderung der Funktionswerte):
$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
Nun wird die Differenz x - x0 gleich h gesetzt; dann kann man auch x als x0 + h schreiben.
$$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
Da nur noch ein x0 vorhanden ist, kann man auch x statt x0 schreiben:
$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$
Anschließend wird der Grenzwert für h gegen 0 gebildet.
Beispiel
Beispiel 1: 1. Ableitung von f(x) = 2x mit der h-Methode berechnen
Die Funktion sei f(x) = 2x.
Die 1. Ableitung der Funktion mit den bekannten Ableitungsregeln berechnet (Variable mit Faktor ableiten) ist 2.
Mit der h-Methode lässt sich die Ableitung so berechnen:
$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x +h) - f(x)}{h}$$
Mit der Funktion f(x) = 2x:
$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2(x +h) - 2x}{h}$$
$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2x + 2h - 2x}{h}$$
$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2h}{h} = 2$$
Beispiel 2: 1. Ableitung von f(x) = x2 mit der h-Methode berechnen
Die Funktion sei $f(x) = x^2$.
Die 1. Ableitung der Funktion mit den bekannten Ableitungsregeln berechnet (Ableitung einer Potenzfunktion) ist 2x.
Mit der h-Methode berechnet:
$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{(x +h)^2 - x^2}{h}$$
$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$$
Hier wurde beim ersten Term im Zähler die 1. binomische Formel angewendet:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ mit a = x und b = h.
$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$$
$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h \cdot (2x + h)}{h}$$
$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \, (2x + h)= 2x$$
Anwendung
Mit der h-Methode lassen sich die bekannten Ableitungsregeln herleiten bzw. beweisen.
Wenn einem diese Regeln nicht einfallen, kann man sich damit behelfen; es ist aber in der Regel kürzer / schneller, die Regeln selbst anzuwenden.
Fazit
Man könnte sagen, die h-Methode ist die „Mutter der Ableitungsregeln“. Sie hat aber eher didaktische Bedeutung als praktische, da man üblicherweise die bekannten Ableitungsregeln selbst anwendet.