Definition
Bei einer Matrix-Skalar-Multiplikation wird eine Matrix mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert; das Ergebnis ist eine Matrix.
Beispiel
Die Matrix A stelle den Materialeinsatz für ein Tennisschlägerset eines Sportgeschäfts dar: 1 Tennisschläger, 2 Griffbänder, 3 Ersatzsaiten, 4 Tennisbälle.
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
Wie hoch ist der Materialbedarf, wenn 5 Sets verkauft werden?
Matrix mal Skalar
Dafür multipliziert man die Matrix mit dem Faktor bzw. Skalar 5:
$$5 \cdot A = 5 \cdot \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 4 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}5 & 10 \\ 15 & 20 \end{pmatrix}$$
Es wird also jedes Element der Matrix mit dem Faktor bzw. Skalar multipliziert.
Im Ergebnis werden 5 Tennisschläger, 10 Griffbänder, 15 Ersatzsaiten und 20 Tennisbälle benötigt.
Fazit
- Bei der Matrix-Skalar-Multiplikation wird jedes Element der Matrix mit dem Skalar (einer Zahl) multipliziert; das Ergebnis ist eine Matrix derselben Dimension.
- Ein Skalar k kann als gemeinsamer Faktor vor die Matrix gezogen werden: k · A.
- Die Operation ist für Matrizen jeder Dimension definiert – keine Dimensionsbedingung wie bei der Matrizenmultiplikation.
Selbsttest: Matrix-Skalar-Multiplikation
Aufgabe: Matrix mit Skalar multiplizieren
Gegeben ist die Matrix A und der Skalar k = 4:
$$A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$$
Berechnen Sie k · A.
Jedes Element mit k = 4 multiplizieren:
$$4 \cdot A = \begin{pmatrix}4 \cdot 2 & 4 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & -4 \\ 0 & 12\end{pmatrix}$$