Definition
Eine biquadratische Gleichung sieht so aus:
$$x^4 + px^2 + q = 0$$
Biquadratisch könnte man mit "zweimal quadratisch" übersetzen, also das Quadrat x2 nochmals ins Quadrat gesetzt, so dass daraus x4 wird.
Das ist schwer zu lösen; deshalb macht man aus der biquadratischen Gleichung eine quadratische Gleichung, indem man x2 durch eine Hilfsvariable z ersetzt.
Die dadurch vorliegende quadratische Gleichung kann man mit den bewährten Methoden (zum Beispiel abc-Formel) lösen und muss dann am Schluss nur noch "zurück ersetzen".
Alternative Begriffe: Quartische Gleichung.
Beispiel
Beispiel: biquadratische Gleichung lösen
Die biquadratische Gleichung sei:
$$x^4 + 3x^2 - 28 = 0$$
Ersetzt man nun hilfsweise x2 durch z, erhält man:
$$z^2 + 3z - 28 = 0$$
Allgemein haben quadratische Gleichungen die Form ax2 + bx + c = 0 (und hier haben wir jetzt z statt x); im Beispiel ist a = 1, b = 3 und c = -28.
Diese quadratische Gleichung lässt sich zum Beispiel mit der abc-Formel lösen:
$$x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$$
Die 2 Lösungen der Gleichung ergeben sich, indem die Wurzel einmal addiert und einmal subtrahiert wird.
Die Werte für a, b und c in die Formel eingesetzt:
$$z_{1/2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1}$$
$$z_{1/2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2}$$
$z_1$ ist dann $\frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$z_2$ ist dann $\frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Das sind (Zwischen-)Lösungen für z, noch nicht für x. Dafür muss rückersetzt werden.
Die -7 als Zwischenlösung macht uns nun Probleme. Wenn z1 = x2 = 4 ist, kann x den Wert 2 oder -2 annehmen; das sind zwei Lösungen der biquadratischen Gleichung.
Es gibt aber keine Zahl, die quadriert -7 ergibt; deshalb fällt diese Lösung für eine Rückersetzung aus.
Die Lösungen sind also x1 = 2 und x2 = -2.
Kontrolle:
24 + 3 × 22 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0
(-2)4 + 3 × (-2)2 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0
Fazit
- Biquadratische Gleichungen haben die Form x4 + px2 + q = 0 und enthalten kein lineares x
- Lösungsweg: Substitution z = x2 → quadratische Gleichung in z → mit abc- oder pq-Formel lösen
- Rückersetzung: z = x2 → x = ±√z (nur für z ≥ 0; negative z-Werte liefern keine reelle Lösung)
- Biquadratische Gleichungen können 0, 2 oder 4 reelle Lösungen haben
Selbsttest: Biquadratische Gleichungen
Aufgabe: Biquadratische Gleichungen
Lösen Sie die biquadratische Gleichung x4 − 5x2 + 4 = 0.
Substitution z = x2:
z2 − 5z + 4 = 0
Faktorisieren: (z − 4)(z − 1) = 0
z1 = 4 | z2 = 1
Rückersetzung:
z1 = x2 = 4 → x = ±2
z2 = x2 = 1 → x = ±1
Lösungen: x ∈ {−2, −1, 1, 2}
Probe (x = 2): 24 − 5 × 22 + 4 = 16 − 20 + 4 = 0 ✓
Probe (x = 1): 14 − 5 × 12 + 4 = 1 − 5 + 4 = 0 ✓