Definition
Ausgangspunkt: Man hat zum Beispiel zwei Vektoren v1 und v2, die Elemente eines Vektorraums V sind.
Kann man dann jeden beliebigen Vektor v des Vektorraums V mindestens auf eine Art als Linearkombination von v1 und v2 darstellen, bildet die aus den beiden Vektoren bestehende Menge {v1, v2} ein Erzeugendensystem von V.
Dimensionen
Ist der Vektorraum dreidimensionsal ($\mathbb{R^3}$), muss das Erzeugendensystem mindestens aus 3 Vektoren bestehen. Ist der Vektorraum vierdimensional ($\mathbb{R^4}$), muss das Erzeugendensystem mindestens aus 4 Vektoren bestehen und so weiter.
Basis
Ist das Erzeugendensystem (des $\mathbb{R^n}$) linear unabhängig, nennt man es Basis (des $\mathbb{R^n}$) und die Vektoren heißen Basisvektoren.
Beispiel
Beispiel: Erzeugendensystem
Hat man beispielsweise die zwei Vektoren $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ – das sind Einheitsvektoren –, spannen diese beiden Vektoren den $\mathbb{R^2}$ auf. Denn: man kann jeden beliebigen Vektor v dieses Vektorraums aus den beiden zusammensetzen, zum Beispiel:
$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
oder
$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Da die Einheitsvektoren linear unabhängig sind, ist das Erzeugendensystem hier auch eine Basis des Vektorraums mit den Basisvektoren v1 und v2.
Erzeugendensystem, aber keine Basis
Man könnte im obigen Beispiel den Vektor $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ als v3 ergänzen; dann hätte man zwar ein Erzeugendensystem aus 3 Vektoren, das wäre aber keine Basis, da man wie oben gezeigt diesen Vektor durch Linearkombination aus den beiden Vektoren v1 und v2 erzeugen kann und er damit nicht linear unabhängig ist.
Zusammengefasst:
Eine Basis besteht erstens aus so vielen Vektoren, wie der Vektorraum Dimensionen hat, und zweitens sind diese linear unabhängig.
Ein Erzeugendensystem hingegen besteht aus mindestens so vielen Vektoren, wie der Vektorraum Dimensionen hat (kann also auch mehr Vektoren als Dimensionen haben), diese müssen nicht linear unabhängig sein.
Fazit
- Eine Menge von Vektoren bildet ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V, wenn jeder Vektor in V als Linearkombination dargestellt werden kann.
- Für den Rn werden mindestens n Vektoren benötigt.
- Ist das Erzeugendensystem zusätzlich linear unabhängig, nennt man es Basis des Vektorraums.
- Ein Erzeugendensystem kann mehr Vektoren als Raumdimensionen enthalten (dann ist es keine Basis, da linear abhängig).
Selbsttest: Erzeugendensystem
Aufgabe: Erzeugendensystem des R²
Gegeben sind:
$$v_1 = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}$$
a) Bilden v1 und v2 ein Erzeugendensystem des R²?
b) Stellen Sie w = (4, −6) als Linearkombination von v1 und v2 dar.
a) v1 und v2 sind linear unabhängig (einer ist kein Vielfaches des anderen) und es gibt 2 Vektoren im R². Sie bilden daher sogar eine Basis (und damit auch ein Erzeugendensystem) des R². ✓
b) Linearkombination:
$$\lambda_1 \cdot \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}$$
Komponentenvergleich: 2λ1 = 4 ⇒ λ1 = 2; 3λ2 = −6 ⇒ λ2 = −2
$$w = 2 \cdot v_1 + (-2) \cdot v_2 = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix} \quad \checkmark$$