Erzeugendensystem

Erzeugendensystem Definition

Ausgangspunkt: Man hat zum Beispiel zwei Vektoren v₁ und v₂, die Elemente eines Vektorraums V sind.

Kann man dann jeden beliebigen Vektor v des Vektorraums V mindestens auf eine Art als Linearkombination von v₁ und v₂ darstellen, bildet die aus den beiden Vektoren bestehende Menge {v₁, v₂} ein Erzeugendensystem von V.

Dimensionen

Ist der Vektorraum dreidimensionsal ($\mathbb{R^3}$), muss das Erzeugendensystem mindestens aus 3 Vektoren bestehen. Ist der Vektorraum vierdimensional ($\mathbb{R^4}$), muss das Erzeugendensystem mindestens aus 4 Vektoren bestehen und so weiter.

Basis

Ist das Erzeugendensystem (des $\mathbb{R^n}$) linear unabhängig, nennt man es Basis (des $\mathbb{R^n}$) und die Vektoren heißen Basisvektoren.

Beispiel

Beispiel: Erzeugendensystem

Hat man beispielsweise die zwei Vektoren $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ – das sind Einheitsvektoren –, spannen diese beiden Vektoren den $\mathbb{R^2}$ auf. Denn: man kann jeden beliebigen Vektor v dieses Vektorraums aus den beiden zusammensetzen, zum Beispiel:

$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

oder

$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Da die Einheitsvektoren linear unabhängig sind, ist das Erzeugendensystem hier auch eine Basis des Vektorraums mit den Basisvektoren v₁ und v₂.

Erzeugendensystem, aber keine Basis

Man könnte im obigen Beispiel den Vektor $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ als v₃ ergänzen; dann hätte man zwar ein Erzeugendensystem aus 3 Vektoren, das wäre aber keine Basis, da man wie oben gezeigt diesen Vektor durch Linearkombination aus den beiden Vektoren v₁ und v₂ erzeugen kann und er damit nicht linear unabhängig ist.

Zusammengefasst:

Eine Basis besteht erstens aus so vielen Vektoren, wie der Vektorraum Dimensionen hat, und zweitens sind diese linear unabhängig.

Ein Erzeugendensystem hingegen besteht aus mindestens so vielen Vektoren, wie der Vektorraum Dimensionen hat (kann also auch mehr Vektoren als Dimensionen haben), diese müssen nicht linear unabhängig sein.