Definition
Unterteilt man eine Matrix (beliebig) in Blöcke bzw. Untermatrizen, nennt man das anschließend eine Blockmatrix.
Beispiel
Die Matrix A sei:
$$\left( \begin{array} {cccc} 1&2&3&4 \\ 5&6&7&8 \\ 9&10&11&12 \\ 13&14&15&16 \end{array} \right)$$
Daraus kann man zum Beispiel folgende Blockmatrix machen:
$$\left( \begin{array} {cc|cc} 1&2&3&4 \\ 5&6&7&8 \\ \hline 9&10&11&12 \\ 13&14&15&16 \end{array} \right)$$
Man hat dann hier eine Matrix, die sich aus 4 (Unter-)Matrizen bzw. Blöcken zusammensetzt.
Das ist nur eine Möglichkeit; die Unterteilung kann auch ganz anders erfolgen.
Fazit
- Eine Blockmatrix entsteht, indem man eine Matrix durch horizontale und vertikale Trennlinien in Untermatrizen (Blöcke) unterteilt.
- Die Trennlinien können beliebig gesetzt werden; die entstehenden Blöcke müssen kein einheitliches Format haben.
- Blockmatrizen vereinfachen Berechnungen und Algorithmen, weil man auf den einzelnen Blöcken unabhängig operieren kann.
Selbsttest: Blockmatrix
Aufgabe: Matrix in Blöcke unterteilen
Gegeben ist die 4 × 4 - Matrix B:
$$B = \begin{pmatrix}2 & 1 & 5 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 4 \\ 7 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 8 & -1 & 6\end{pmatrix}$$
Unterteilen Sie B in vier Blöcke, indem Sie eine Trennlinie nach Zeile 2 und nach Spalte 2 einfügen. Benennen Sie die vier Untermatrizen B11, B12, B21, B22 und geben Sie jeweils ihre Dimension an.
Blockstruktur:
$$B = \left(\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 5 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 4 \\ \hline 7 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 8 & -1 & 6\end{array}\right)$$
B11 (Zeilen 1–2, Spalten 1–2): Dimension 2 × 2
$$B_{11} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}$$
B12 (Zeilen 1–2, Spalten 3–4): Dimension 2 × 2
$$B_{12} = \begin{pmatrix}5 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}$$
B21 (Zeilen 3–4, Spalten 1–2): Dimension 2 × 2
$$B_{21} = \begin{pmatrix}7 & 0 \\ 0 & 8\end{pmatrix}$$
B22 (Zeilen 3–4, Spalten 3–4): Dimension 2 × 2
$$B_{22} = \begin{pmatrix}2 & -3 \\ -1 & 6\end{pmatrix}$$