Definition
Eine Projektionsmatrix A ist eine quadratische Matrix, die
- symmetrisch (die Matrix A ist identisch mit ihrer transponierten Matrix AT) und
- idempotent (die Matrix A im Quadrat ist gleich der Matrix A)
ist.
Beispiel
Die folgende quadratische Matrix A ist symmetrisch, denn wenn man sie transponiert (das heißt Zeilen und Spalten vertauscht), ergibt sich dieselbe Matrix:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A^T = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Die Matrix ist zudem idempotent, denn wenn man sie quadriert, ergibt sich dieselbe Matrix:
$$A^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = A$$
Die Matrix A ist eine Projektionsmatrix.
Fazit
- Eine Projektionsmatrix ist quadratisch, symmetrisch (A = AT) und idempotent (A2 = A) – beide Eigenschaften müssen gleichzeitig gelten.
- Geometrisch gesehen projiziert sie Vektoren auf einen Teilraum; wiederholte Anwendung ändert das Ergebnis nicht (daher A2 = A).
- Einheitsmatrix und Nullmatrix sind triviale Sonderfälle von Projektionsmatrizen.
Selbsttest: Projektionsmatrix
Aufgabe: Projektionsmatrix nachweisen
Gegeben ist die Matrix P:
$$P = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$
Zeigen Sie, dass P eine Projektionsmatrix ist, indem Sie beide Eigenschaften prüfen:
a) Symmetrie: P = PT
b) Idempotenz: P2 = P
a) Symmetrie:
$$P^T = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = P \checkmark$$
(Transponieren vertauscht Zeilen und Spalten – bei dieser Matrix ändert sich nichts.)
b) Idempotenz:
$$P^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot 0+0\cdot 0 & 0\cdot 0+0\cdot 1 \\ 0\cdot 0+1\cdot 0 & 0\cdot 0+1\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = P \checkmark$$
Ergebnis: P ist symmetrisch und idempotent – P ist eine Projektionsmatrix.