Inverse Matrix
Definition
Multipliziert man die inverse Matrix A-1 zu einer Matrix A mit dieser Matrix A, erhält man die Einheitsmatrix E (bei der nur die Zahlen auf der oben links beginnenden absteigenden Diagonalen 1 und alle anderen Zahlen 0 sind).
$$A \cdot A^{-1} = E$$
und (Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge)
$$A^{-1} \cdot A = E$$
Alternative Begriffe: Inverse, Kehrmatrix, Matrix-Inversion, Matrix invertieren, Matrixinverse.
Voraussetzungen
Nur eine quadratische Matrix A (zum Beispiel eine Matrix mit 2 Zeilen und 2 Spalten) kann eine inverse Matrix (die dann mit A-1 bezeichnet wird) haben.
Weitere Voraussetzung: A ist eine reguläre Matrix, das heißt die Determinante von A ist ungleich 0 (ist die Determinante = 0, liegt eine singuläre Matrix vor, die nicht invertierbar ist).
Beispiele
Beispiel 1: Diagonalmatrix invertieren
Wir wollen eine Diagonalmatrix invertieren, also eine quadratische Matrix, in der alle Elemente gleich Null sind außer die Elemente der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten).
Für eine Diagonalmatrix ist eine inverse Matrix leicht zu bilden: die Werte auf der Hauptdiagonalen werden einfach durch deren Kehrwerte ersetzt, also 1/2 für 2, 1/3 für 3 und so weiter.
Voraussetzung: Kein Wert auf der Hauptdiagonalen darf 0 sein, sonst ist die Determinante 0 (da bei einer Diagonalmatrix einfach die Elemente auf der Hauptdiagonalen multipliziert werden, um die Determinante zu berechnen) und die Matrix nicht invertierbar.
Aus der Matrix A
$$A= \begin{pmatrix} \color{var(--mf-1}{1} & 0 & 0 \\ 0 & \color{var(--mf-1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \color{var(--mf-1}{3} \end{pmatrix}$$
resultiert entsprechend die inverse Matrix A -1:
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{1} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$
Beispiel 2: 2x2-Matrix invertieren
Für die folgende 2 × 2-Matrix A soll die Inverse gebildet werden:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
Stellt man die Matrix allgemein mit Kleinbuchstaben dar ...
$$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
... lautet die Formel zur Berechnung der 2 x 2 Inversen:
$$\frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \cdot \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
Dabei ist der Nenner des Bruchs die Determinante der Matrix; mit Zahlen:
$$\frac{1}{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3} \cdot \begin{pmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$
$$= -\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
Die Inverse 2 x 2 ist also:
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
Kontrolle:
$$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}1 \cdot -2 + 2 \cdot \frac{3}{2} & 1 \cdot 1 + 2 \cdot -\frac{1}{2} \\ 3 \cdot -2 + 4 \cdot \frac{3}{2} & 3 \cdot 1 + 4 \cdot -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Die Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge ($A^{-1} \cdot A$) gibt dasselbe Ergebnis, die Einheitsmatrix.
Weitere Beispiele
Für andere Matrizen sind Algorithmen wie das Gauß-Jordan-Verfahren anwendbar.