Einheitsvektor
Definition
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge bzw. dem Betrag 1.
Ein beliebiger Vektor (außer der Nullvektor) kann auf seinen Einheitsvektor skaliert (verkürzt oder verlängert) werden, indem man ihn durch seinen Betrag teilt. Das Ergebnis ist ein normierter Vektor.
Beispiel
Der Vektor a sei:
$$a = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Die Länge des Vektors a ist:
$$\vert a \vert = \sqrt{(4^2 + 3^2)} = \sqrt{(16 + 9)} = \sqrt{25} = 5$$
Geometrisch kann man das so interpretieren: wenn man den Vektor a als Ortsvektor betrachtet, führt dieser vom Koordinatenursprung zu dem Punkt mit den Koordinaten x = 4 und y = 3 (jeweils in cm).
Die Strecke vom Koordinatenursprung zu diesem Punkt ist die Länge dieses Vektors, also 5 cm.
Vektor normieren
Teilt man den Vektor durch seine Länge 5 (bzw. multipliziert ihn mit $\frac{1}{5}$), ist der Vektor normiert und hat die Länge 1:
$$a_{normiert} = \frac{1}{5} \cdot a = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8 \\ 0,6 \end{pmatrix}$$
Kontrolle (ob man wirklich einen Einheitsvektor berechnet hat):
$$\vert a_{normiert} \vert = \sqrt{0,8^2 + 0,6^2} = \sqrt{0,64 + 0,36} = \sqrt{1} = 1$$
Einheitsvektoren und -matrix
Im dreidimensionalen Vektorraum sind die Einheitsvektoren zum Beispiel die Spaltenvektoren der Einheitsmatrix:
$$E_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Linearkombinationen
Einheitsvektoren sind linear unabhängig.
Man kann mit ihnen Linearkombinationen bilden.
Beispiel
Für den obigen Vektor a mit zweidimensionalen Einheitsvektoren:
$$a = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Fazit
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1.
Man kann für jeden Vektor einen zugehörigen Einheitsvektor bestimmen (außer für den Nullvektor), indem man ihn normiert, das heißt durch seine Länge teilt.