Einheitsvektor

Einheitsvektor Definition

Einheitsvektoren (deren Betrag bzw. Länge jeweils 1 ist) sind zum Beispiel (im dreidimensionalen Vektorraum)

$$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Alternative Begriffe: Normierter Vektor.

Vektor normieren / Einheitsvektor bestimmen

Man kann einen Vektor normieren, indem man ihn durch seine Länge teilt.

Beispiel: Vektor normieren

Der Vektor a sei:

$$a = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Die Länge des Vektors a ist:

$$\vert a \vert = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Geometrisch kann man das so interpretieren: wenn man den Vektor a als Ortsvektor betrachtet, führt dieser vom Koordinatenursprung zu dem Punkt mit den Koordinaten x = 4 und y = 3 (jeweils in cm).

Die Strecke vom Koordinatenursprung zu diesem Punkt ist die Länge dieses Vektors, also 5 cm.

Teilt man den Vektor durch seine Länge 5 (bzw. multipliziert ihn mit $\frac{1}{5}$), ist der Vektor normiert und hat die Länge 1:

$$a_{normiert} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8 \\ 0,6 \end{pmatrix}$$

$$\vert a_{normiert} \vert = \sqrt{0,8^2 + 0,6^2} = \sqrt{0,64 + 0,36} = \sqrt{1} = 1$$

Fazit

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1.

Man kann für jeden Vektor einen zugehörigen Einheitsvektor bestimmen (außer für den Nullvektor), indem man ihn normiert, das heißt durch seine Länge teilt.