Polynom

Polynom Definition

Ein Polynom ist z.B. x3 + 2x2 + 3 und eine Polynomfunktion ist z.B. f(x) = x3 + 2x2 + 3.

Polynom heißt eigentlich "mehrnamig"; gemeint ist damit, dass mehrere Terme, die aus einem Koeffizienten und einer mit Exponenten versehenen Variablen x bestehen, mit + (Plus) oder – (Minus) zusammengekettet werden.

Die drei Bestandteile im obigen Polynom sind:

  • x3 mit dem Koeffizienten 1 und dem Exponenten 3;
  • 2x2 mit dem Koeffizienten 2 und dem Exponenten 2;
  • 3 mit dem Koeffizienten 3 und dem Exponenten 0 (man muss sich hier 3x0 vorstellen mit x0 = 1).

Es ist ein Polynom dritten Grades: der höchste Exponent (hier: 3 bei x3) bestimmt den Grad. Alle Exponenten sind natürliche Zahlen (0, 1, 2, 3, 4 u.s.w.; keine negative Zahlen, keine Brüche).

Alternative Begriffe: ganzrationale Funktion.

Mit Polynomen rechnen

Beispiel: Polynome addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren

Ein Polynom sei das obige $x^3 + 2x^2 + 3$, ein zweites Polynom sei $x^2 + 1$.

Polynome addieren

$$(x^3 + 2x^2 + 3) + (x^2 + 1) = x^3 + 3x^2 + 4$$

Polynome subtrahieren

$$(x^3 + 2x^2 + 3) - (x^2 + 1)$$

$$= x^3 + 2x^2 + 3 - x^2 - 1 = x^3 + x^2 + 2$$

Polynome multiplizieren

Um Polynome zu multiplizieren, benötigt man die Potenzgesetze.

$$(x^3 + 2x^2 + 3) \cdot (x^2 + 1)$$

$$= x^3 \cdot (x^2 + 1) + 2x^2 \cdot (x^2 + 1) + 3\cdot (x^2 + 1)$$

$$=x^5 + x^3 + 2x^4 + 2x^2 + 3 x^2 + 3$$

$$=x^5 + 2x^4 + x^3 + 5 x^2 + 3$$

Polynome dividieren

Siehe Polynomdivision.

Polynom-Nullstellen

Wie man Nullstellen von Polynomen findet, hängt von dem Grad der Polynomfunktion ab:

  • bei (linearen) Polynomen vom Grad 1, ist es einfach, z.B. liegt die Nullstelle des Polynoms $2x - 2$ bei x = 1;
  • bei (quadratischen) Polynomen vom Grad 2, z.B. $2x^2 + 2x - 12$ können z.B. die p-q-Formel oder die abc-Formel angewandt werden;
  • bei (kubischen) Polynomen vom Grad 3, z.B. $x^3 - 3x^2 + 2x$, kann die Polynomdivision angewandt werden.