Tangentialebene Definition
Bei Funktionen mit 2 Variablen kann man nicht mehr wie bei einer Funktion mit einer Variablen eine Tangente an den Funktionsgraphen zeichnen (eine Gerade, die den Funktionsgraph berührt, nicht schneidet); dafür kann man eine Tangentialebene der Funktion bestimmen.
Tangentialebene berechnen
Für eine Funktion kann man die Tangentialebene in einem bestimmten Punkt wie folgt berechnen:
Beispiel: Tangentialebene bestimmen
Die Funktion sei $f(x, y) = x^2 + y^3$. Der Punkt sei (1, 2), also x = 1 und y = 2.
Zuerst werden die 1. partiellen Ableitungen der Funktion nach x und nach y berechnet:
$f_x (x, y) = 2x$
$f_y(x, y) = 3y^2$
Zur Erinnerung: bei einer partiellen Ableitung einer Funktion mit 2 Variablen x und y leitet man diese nach einer Variablen – zum Beispiel zunächst nach x – ab und hält die andere Variable y konstant.
Bei der ersten obigen partiellen Ableitung nach x wird deshalb y3 als Konstante behandelt und fällt bei der Ableitung entsprechend weg. Und x2 nach x abgeleitet ergibt 2x.
Dann werden die Werte des Punktes (in dem die Tangentialebene anliegen soll) eingesetzt:
$f_x(1, 2) = 2 \cdot 1 = 2$
$f_y(1, 2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12.$
Der Funktionswert für f(x, y) an dem Punkt (1, 2) ist: f(1, 2) = 12 + 23 = 1 + 8 = 9.
Tangentialebene berechnen
Dann berechnet sich die Tangentialebene z allgemein nach folgender Formel:
$$z = f_x(x_0, y_0) \cdot (x - x_0)$$
$$+ \, f_y(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) + f(x_0, y_0)$$
Und für das Beispiel mit x0 = 1 und y0 = 2:
$$z = f_x(1, 2) \cdot (x - 1) + f_y(1, 2) \cdot (y - 2)$$
$$+ \, f(1, 2)$$
$$= 2 \cdot (x - 1) + 12 \cdot (y - 2) + 9$$
$$= 2x - 2 + 12y - 24 + 9$$
$$= 2x + 12y - 17$$
Vorstellung
Es ist vielleicht nicht einfach, sich eine Tangentialebene vorzustellen.
Die Ebene könnte ein Blatt Papier sein, das man in einem bestimmten Punkt (dem Tangentialpunkt) und einer bestimmten Neigung an einer Kugel / einem Ball anlegt.
Oder an einer Kuppel, an einem Ei, an einem gewölbten Flugdrachen …
Während bei Funktionen mit einer Variablen Funktionsgraph und Tangente flach auf Papier eingezeichnet werden, ergeben bei zwei Variablen Funktionsgraph und Tangentialebene dreidimensionale, perspektivische Zeichnungen.
Fazit
- Die Tangentialebene ist das Analogon zur Tangente bei Funktionen einer Variablen – sie legt sich an die Funktion in einem bestimmten Punkt an
- Formel: z = fx(x0,y0) · (x−x0) + fy(x0,y0) · (y−y0) + f(x0,y0)
- Sie benötigt die partiellen Ableitungen 1. Ordnung, ausgewertet am Tangentialpunkt (x0, y0)
- Die Tangentialebene ist die beste lineare Näherung einer Funktion zweier Variablen in einem Punkt
Selbsttest: Tangentialebene
Aufgabe: Tangentialebene
Bestimmen Sie die Tangentialebene von f(x, y) = x3 + y2 im Punkt (2, 1).
Partielle Ableitungen:
fx(x, y) = 3x2 ⇒ fx(2,1) = 3 × 4 = 12
fy(x, y) = 2y ⇒ fy(2,1) = 2 × 1 = 2
Funktionswert: f(2,1) = 23 + 12 = 8 + 1 = 9
Tangentialebene:
z = fx(2,1) · (x−2) + fy(2,1) · (y−1) + f(2,1)
z = 12(x−2) + 2(y−1) + 9
z = 12x − 24 + 2y − 2 + 9
z = 12x + 2y − 17
Probe: z(2,1) = 12×2 + 2×1 − 17 = 24 + 2 − 17 = 9 = f(2,1) ✓