Tangentialebene

Beispiel: Tangentialebene bestimmen

Die Funktion sei $f(x, y) = x^2 + y^3$. Der Punkt sei (1, 2), also x = 1 und y = 2.

Zuerst werden die 1. partiellen Ableitungen der Funktion nach x und nach y berechnet:

$f_x (x, y) = 2x$

$f_y(x, y) = 3y^2$

Zur Erinnerung: bei einer partiellen Ableitung einer Funktion mit 2 Variablen x und y leitet man diese nach einer Variablen – zum Beispiel zunächst nach x – ab und hält die andere Variable y konstant.

Bei der ersten obigen partiellen Ableitung nach x wird deshalb y³ als Konstante behandelt und fällt bei der Ableitung entsprechend weg. Und x² nach x abgeleitet ergibt 2x.

Dann werden die Werte des Punktes (in dem die Tangentialebene anliegen soll) eingesetzt:

$f_x(1, 2) = 2 \cdot 1 = 2$

$f_y(1, 2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12.$

Der Funktionswert für f(x, y) an dem Punkt (1, 2) ist: f(1, 2) = 1² + 2³ = 1 + 8 = 9.

Tangentialebene berechnen

Dann berechnet sich die Tangentialebene z allgemein nach folgender Formel:

$$z = f_x(x_0, y_0) \cdot (x - x_0)$$

$$+ \, f_y(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) + f(x_0, y_0)$$

Und für das Beispiel mit x₀ = 1 und y₀ = 2:

$$z = f_x(1, 2) \cdot (x - 1) + f_y(1, 2) \cdot (y - 2)$$

$$+ \, f(1, 2)$$

$$= 2 \cdot (x - 1) + 12 \cdot (y - 2) + 9$$

$$= 2x - 2 + 12y - 24 + 9$$

$$= 2x + 12y - 17$$

Vorstellung

Es ist vielleicht nicht einfach, sich eine Tangentialebene vorzustellen.

Die Ebene könnte ein Blatt Papier sein, das man in einem bestimmten Punkt (dem Tangentialpunkt) und einer bestimmten Neigung an einer Kugel / einem Ball anlegt.

Oder an einer Kuppel, an einem Ei, an einem gewölbten Flugdrachen …

Während bei Funktionen mit einer Variablen Funktionsgraph und Tangente flach auf Papier eingezeichnet werden, ergeben bei zwei Variablen Funktionsgraph und Tangentialebene dreidimensionale, perspektivische Zeichnungen.