Quadratische Gleichungen
Definition
Eine quadratische Gleichung ist zum Beispiel 2x2 - 4x = 0 (enthält also ein x2).
Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, 0 und 2:
2 × 02 - 4 × 0 = 0
2 × 22 - 4 × 2 = 2 × 4 - 8 = 8 - 8 = 0
Die allgemeine Form quadratischer Gleichungen ist:
ax2 + bx + c = 0.
Dabei darf a nicht 0 sein, da sonst das x2 letztlich wegfällt.
In dem obigen Beispiel war a = 2, b = -4 und c = 0.
Quadratische Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lassen sich im Grundsatz mit mehreren Methoden lösen (wobei nicht immer alle gleich gut / schnell funktionieren):
| Methode | Kurzbeschreibung |
|---|---|
| Faktorisieren | Summen oder Differenzen werden in Produkte umgewandelt, um Nullstellen leichter zu erkennen. |
| pq-Formel | Setzt voraus, dass das x2 ohne Multiplikator steht (sonst vorher Umformung notwendig). |
| Satz-von-Vieta (eingeschränkt) | Damit kann man unter Umständen quadratische Gleichungen durch Ausprobieren lösen. |
| abc-Formel | Funktioniert im Gegensatz zur pq-Formel ohne vorherige Umformung. |
| Quadratische Ergänzung | Ergänzt die Gleichung so, dass binomische Formeln für die Lösung angewendet werden können. |
So nicht!:
Quadratische Gleichungen kann man nicht dadurch lösen, dass man beide Seiten der Gleichung durch x teilt.
Würde man das im obigen Beispiel machen, hätte man 2x - 4 = 0 und die Lösung wäre nur x = 2 (die zweite Lösung der ursprünglichen Gleichung x = 0 wäre weggefallen).
Rein quadratische und gemischt quadratische Gleichungen
Eine sogenannte rein quadratische Gleichung liegt vor, wenn neben dem x2 kein weiteres x in der Gleichung vorkommt, sondern nur noch Zahlen. Im obigen Beispiel gibt es noch ein - 4x, deshalb ist es eine gemischt-quadratische Gleichung.
Reinquadratische Gleichungen lassen sich einfach nach x2 auflösen, zum Beispiel die Gleichung 2x2 - 18 = 0; Dann ist $x^2 = 9$ und $x = \pm 3$.