Verdopplungszeit
Verdopplungszeit Definition
Eine Exponentialfunktion bildet oft exponentielles Wachstum abhängig von der (vergangenen) Zeit ab.
Die Verdopplungszeit ist dann die Zeit, die es braucht, bis sich der Funktionswert verdoppelt hat, etwa die Kundenzahl, der Umsatz, die Bevölkerung, Bakterien usw.
Gegenstück: Halbwertszeit
Das Gegenstück zur Verdopplungszeit ist die Halbwertszeit.
Beispiele
Beispiel 1: Verdopplungszeit
Im Beispiel zur Exponentialfunktion lautete die Funktion f(x) = b × ax und mit beispielhaften Zahlen f(x) = 3 × 2x.
Betrachtet man x als Zeitvariable (zum Beispiel in Monaten gemessen) und f(x) zum Beispiel als Kundenanzahl, könnte man fragen, nach welcher Zeitspanne sich die Kundenanzahl jeweils verdoppelt.
Anders gefragt: Mit welchem Exponenten x muss man a potenzieren, damit ax = 2 ist.
Formel
Die dazugehörige Formel:
x = ln 2 / ln a.
Dabei ist ln der natürliche Logarithmus (und eine Taste auf dem Taschenrechner).
In der Beispielfunktion ist a = 2, deshalb: x = ln 2 / ln 2 = 1.
Nach einer Zeiteinheit (1 Monat) verdoppelt sich jeweils die Kundenzahl.
Kontrolle
f(0) = 3 × 20 = 3 × 1 = 3.
f(1) = 3 × 21 = 3 × 2 = 6.
f(2) = 3 × 22 = 3 × 4 = 12.
f(3) = 3 × 23 = 3 × 8 = 24.
usw.
Beispiel 2: Wachstumsrate
Der aktuelle Umsatz eines Unternehmens sei 1.000.000 €. Die Wachstumsrate des Umsatzes sei 3 % pro Jahr.
Wie lange dauert es, bis das Unternehmen seinen Umsatz verdoppelt hat?
Wenn die Wachstumsrate 3 % (dezimal 0,03) ist, ist der Wachstumsfaktor 1 + 0,03 = 1,03. Dieser wird im Nenner der obigen Formel für a eingesetzt.
Dann ist die Verdopplungszeit: ln 2 / ln a = ln 2 / ln 1,03 = 23,45, also ca. 23 bis 24 Jahre.
Kontrolle: 1.000.000 € × 1,0323,45 = 2.000.013 € (gerundet 2.000.000 €).
Abkürzung
Es gibt eine näherungsweise Abkürzung: die 72er-Regel.
Danach entspricht die Verdopplungszeit dem Quotienten aus 72 und der in Prozent ausgedrückten Wachstumsrate:
72/3 = 24 (das ist schon eine in den meisten Fällen ausreichende Näherung).