Totales Differential

Totales Differential Definition

Angenommen, man hat eine Funktion mit 2 Variablen, zum Beispiel den Umfang eines Rechtecks (mit der Länge x und der Breite y in cm) mit f (x, y) = 2x + 2y; für x = 4 und y = 3 wäre der Umfang des Rechtecks bzw. der Funktionswert f (4, 3) = 2 × 4 + 2 × 3 = 8 + 6 = 14.

Änderung des Funktionswerts bei Änderung beider Variablen

Mit den partiellen Ableitungen konnte man bestimmen, wie sich der Funktionswert ändert, wenn man eine der beiden Variablen marginal erhöht, während man die andere konstant lässt.

Die partielle Ableitung nach x wäre zum Beispiel f_x (x, y) = 2, was bedeutet, dass der Umfang des Rechtecks um 2 Einheiten zunimmt, wenn die Länge x um eine Einheit erhöht wird (analog die partielle Ableitung für y: f_y (x, y) = 2).

Mit dem totalen Differential hingegen wird berechnet, wie sich der Funktionswert bzw. der Umfang des Rechtecks ändern, wenn beide Variablen x und y marginal verändert werden:

df = f_x (x, y) × dx + f_y (x, y) × dy

In Worten: das totale Differential ist die partielle Ableitung nach x multipliziert mit der Änderung der Variablen x plus der partiellen Ableitung nach y multipliziert mit der Änderung der Variablen y.

Mit den obigen partiellen Ableitungen eingesetzt:

df = 2dx + 2dy

Dabei ist 2 jeweils die partielle Ableitung und dx und dy stehen für die Veränderungen von x und y.

Erhöht man x um eine Einheit und y um eine Einheit, erhöht sich der Funktionswert (der Umfang des Rechtecks) um das zweifache der Veränderung von x (also 2 Einheiten) und das zweifache der Veränderung von y (also wiederum 2 Einheiten), in Summe 4 Einheiten.

Kontrolle

Auf das obige Beispiel angewandt (mit x von 4 auf 5 und y von 3 auf 4 erhöht):

f (5, 4) = 2 × 5 + 2 × 4 = 10 + 8 = 18.

Es erfolgt also eine Erhöhung um 4 Einheiten (von 14 auf 18), wie vom totalen Differential berechnet (für diese sehr einfache Funktion ist das totale Differential natürlich wenig ergiebig, man kommt hier auch durch Kopfrechnen weiter; für komplexere Funktionen ist das aber nicht mehr so).

Anmerkung

Das totale Differential gibt eine Annäherung (also nicht immer exakt, wie es hier im Beispiel einer einfachen Funktion geklappt hat), wie sich der Funktionswert ändert, wenn sich die beiden Variablen marginal ändern (nach oben oder unten).

Marginal heißt eigentlich, um geringe Beträge (also im Beispiel oben eher um Millimeter als um Zentimeter). Je geringer die Veränderungen der Variablen, desto genauer gibt das totale Differential die Veränderung des Funktionswerts wieder.

Alternative Begriffe: Totale Ableitung, vollständiges Differential.