Polynomdivision

Polynomdivision Definition

Polynomdivision bedeutet: ein Polynom wird durch ein anderes Polynom geteilt.

Mit der Polynomdivision können vor allem Nullstellen von Polynomen berechnet werden; allerdings benötigt man dafür eine bekannte Nullstelle (raten, ausprobieren, als Angabe ...).

Beispiel

Beispiel Polynomdivision

Das Polynom 3. Grades sei: $x^3 - 3x^2 + 2x$.

Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die 2 $(2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 8 - 12 + 4 = 0)$.

Wir teilen das gegebene Polynom durch das Polynom (x - Nullstelle), also (x - 2); dabei ist das erste Polynom der Dividend, das zweite der Divisor.

$$(x^3 - 3x^2 + 2x) : (x - 2)$$

Berechnung:

$$\begin{array}{rrrll} x^3 & -3x^2 & +2x & :(x - 2) & = x^2 - x\\ -(x^3 & -2x^2) & & & \\ \hline & -x^2 & +2x \\ & -(-x^2 & +2x) & & & & \\ \hline & 0 & 0 \end{array}$$

Zunächst wird die höchste Potenz des Dividenden (also x3) durch die höchste Potenz des Divisors (also x) geteilt; das ergibt x3 : x = x2; das ist der erste Teil der Lösung und wird rechts nach dem = geschrieben.

Das x2 wird mit dem Divisior (x - 2) multipliziert: $x^2 \cdot (x - 2) = x^3 - 2x^2$; dieser Term wird abgezogen und es wird der nächste Polynombestandteil (+2x) von oben in das Berechnungsschema gezogen.

Nun wird wieder die höchste verbliebene Potenz des Dividenden (also -x2) durch die höchste Potenz des Divisors (also x) geteilt; das ergibt -x; das ist der zweite Teil der Lösung und wird rechts hinzugefügt.

Das -x wird mit dem Divisior (x - 2) multipliziert: $-x \cdot (x - 2) = -x^2 + 2x$; dieser Term wird wieder abgezogen; es verbleibt kein Restterm mehr, deshalb ist die Polynomdivision abgeschlossen und das Ergebnis ist $x^2 - x$.

Damit können jetzt leicht weitere Nullstellen ermittelt werden. Wenn man x ausklammert, erhält man x × (x - 1) und man sieht sofort (Satz vom Nullprodukt), dass 0 eine weitere Nullstelle ist und 1.

Kontrolle für die 3 Nullstellen:

Nullstelle 0: $0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 = 0 - 0 + 0 = 0$

Nullstelle 1: $1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 - 3 + 2 = 0$

Nullstelle 2: $2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 8 - 12 + 4 = 0$

Polynomdivision mit Rest

Im Beispiel oben ging die Polynomdivision schön auf.

Es kann aber generell bei Polynomdivisionen durchaus ein Rest übrig bleiben, zum Beispiel eine Zahl wie 18. In dem Fall würde man den Rest durch den Divisor teilen, also 18 / (x - 2), und diesen Term am Schluss hinzuaddieren (oder subtrahieren bei einem negativen Term).

Wenn oben ein Rest entstanden wäre, wäre die 2 allerdings keine Nullstelle gewesen (aber das war sie ja, deshalb kein Rest).