Teilmenge
Teilmenge Definition
Die Menge A ist eine Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist.
B ist dann die Obermenge für A und A wird alternativ auch als Untermenge bezeichnet.
Enthält B noch mindestens ein Element, das in A nicht enthalten ist, nennt man A eine echte Teilmenge.
Die leere Menge gilt immer als Teilmenge jeder anderen Menge.
Die Menge aller Teilmengen einer Grundmenge ist die Potenzmenge (die leere Menge und die Menge selbst zählen dabei auch dazu). Die Anzahl der Teilmengen einer Grundmenge lässt sich über die Formel für die Potenzmenge berechnen.
Die Bildung von Teilmengen ist oft der vorbereitende Schritt, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen (siehe Bespiel unten).
Beispiele
Beispiel: Teilmengen
Die Menge Ω der möglichen Augenzahlen bei einem Würfel ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} mit der Mächtigkeit ⎟ Ω ⎢= 6 (Mächtigkeit: Anzahl der Elemente der Menge).
Die Menge A = {1, 3, 5} mit den ungeraden Augenzahlen stellt eine (echte) Teilmenge von Ω mit der Mächtigkeit ⎟A⎢ = 3 dar.
Die Menge B = {2, 3, 5} mit den Primzahlen (eines Würfels) stellt ebenso eine (echte) Teilmenge von Ω mit der Mächtigkeit ⎟B⎢ = 3 dar.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird ist: P(A) = ⎟A⎢ / ⎟ Ω⎢= 3/6 = 1/2 = 0,5.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl gewürfelt wird ist: P(B) = ⎟B⎢ / ⎟ Ω⎢= 3/6 = 1/2 = 0,5.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl und eine Primzahl gewürfelt wird (das heißt eine ungerade Zahl, die auch eine Primzahl ist bzw. eine Primzahl. die auch eine ungerade Zahl ist) kann wiederum über die Teilmenge C = {3, 5} als Schnittmenge der Mengen A und B mit der Mächtigkeit ⎟C⎢ = 2 bestimmt werden: P(C) = P (A ∩ B) = ⎟C⎢ / ⎟ Ω⎢= 2/6 = 1/3 = 0,33.
Die Menge D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} stellt eine (unechte) Teilmenge von Ω mit der Mächtigkeit ⎟A⎢ = 6 dar.