Zielfunktion
Zielfunktion Definition
Eine Zielfunktion bildet mathematisch ab, was optimiert werden soll.
Dabei können Gewinne maximiert, Kosten oder Transportwege minimiert werden.
Der erste Schritt wäre, das Ziel konkret und eindeutig – noch in Worten – zu definieren; so ist das Ziel, den „besten Transportweg“ von einer Stadt zu einer anderen zu finden, ungenau. Was ist der „beste Transportweg“? Der kürzeste? Der schnellste? Der kostengünstigste?
Mit einer Zielfunktion wird dann das definierte Ziel mathematisch eindeutig festgelegt; dabei werden dann Variablen benutzt, zum Beispiel x für „Transportweg in km“, wenn man sich oben für die kürzeste Strecke als Ziel entschieden hätte.
Beispiel
Beispiel: Zielfunktion
Eine beispielhafte zu maximierende Zielfunktion für ein Unternehmen, das Kaffee-Becher und Tee-Becher verkauft, wäre:
Z(k, t) = k × 2 € + t × 3 €
Dabei steht k für die Anzahl verkaufter Kaffee-Becher mit einem Gewinn von 2 € je Becher und t für die Anzahl verkaufter Tee-Becher mit einem Gewinn von 3 € je Becher.
Optimiert würde hier der Gewinn aus dem Kaffee-Becher- und dem Tee-Becher-Verkauf.
Hätte man nur die Zielfunktion, wäre oft kein Ende in Sicht: ein Unternehmen könnte immer noch mehr produzieren und verkaufen und würde immer noch mehr Gewinn machen – es gäbe keine Grenze. Und es gäbe damit auch keine Lösung des Optimierungsproblems.
Üblicherweise gibt es aber Beschränkungen, zum Beispiel die Produktionskapazitäten des Unternehmens, die in den Modellen berücksichtigt werden. Mathematisch werden diese Beschränkungen oft als Nebenbedingungen bezeichnet.
Optimieren heißt dann, dieses Maximum oder Minimum entweder mathematisch exakt zu finden (zum Beispiel mit der Linearen Optimierung) oder zumindest zu suchen (mit heuristischen Verfahren, die erfahrungsgemäß oft eine gute Lösung – wenn auch nicht garantiert die optimale – finden).
Für Beispiele mit Zielfunktionen unter Beschränkungen siehe