Definition
Betriebsoptimum nennt man die Stückzahl, bei der für eine gegebene Kostenfunktion die durchschnittlichen Kosten (pro Stück) minimal sind.
Beispiel
Ein Unternehmen hat die (simple und wenig realistische) Kostenfunktion $K(x) = x^3 - 2x + 250$
Das heißt, die Kosten in €
- bei 0 Stück sind $K(0) = 0^3 - 2 \cdot 0 + 250 = 250$
- bei 1 Stück $K(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + 250 = 249$ (die Kosten bei einem Stück sind also geringer als bei 0 Stück, das ist unrealistisch)
- bei 2 Stück $K(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + 250 = 254$
- und so weiter
Betriebsoptimum berechnen – Schritte
Durchschnittskostenfunktion bestimmen
Die Durchschnittskosten pro Stück erhält man, indem man die Kostenfunktion durch die Anzahl x teilt: $\frac{K(x)}{x} = x^2 - 2 + \frac{250}{x}$
Durchschnittskostenfunktion ableiten und gleich 0 setzen
Nun bildet man die erste Ableitung dieser Durchschnittskostenfunktion und setzt sie gleich 0:
$$2x - \frac{250}{x^2} = 0$$
Dabei resultiert der Vorzeichenwechsel beim zweiten Term daraus, dass $\frac{250}{x}$ auch als $250 \cdot x^{-1}$ geschrieben werden kann und dies abgeleitet ist $(-1) \cdot 250 \cdot x^{-2}$ und das kann dann wieder als $\frac{-250}{x^2}$ geschrieben werden.
Nach ein paar Umformungen erhält man x:
$$2x^3 - 250 = 0$$
$$2x^3 = 250$$
$$x^3 = 125$$
$$x = 5$$
2. Ableitung prüfen
Abschließend ist noch zu prüfen, ob die 2. Ableitung an der Stelle x = 5 größer 0 ist (nur dann liegt ein Minimum vor).
Die zweite Ableitung der Durchschnittskostenfunktion ist:
$$2 + \frac{500}{x^3}$$
An der Stelle x = 5:
$$2 + \frac{500}{5^3} = 2 + \frac{500}{125} = 2 + 4 = 6$$
Das ist > 0, es liegt also ein Minimum vor.
Ergebnis
Das Betriebsoptimum liegt also bei x = 5 Stück.
Hier sind die durchschnittlichen Kosten pro Stück mit $5^2 - 2 + \frac{250}{5} = 73$ am geringsten.
Selbsttest: Betriebsoptimum
Aufgabe: Betriebsoptimum berechnen
Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = x³ − 3x + 54.
a) Stellen Sie die Durchschnittskostenfunktion DK(x) = K(x)/x auf.
b) Leiten Sie DK(x) ab und bestimmen Sie das Betriebsoptimum durch Nullsetzen.
c) Prüfen Sie mithilfe der 2. Ableitung, ob ein Minimum vorliegt.
d) Berechnen Sie die minimalen Durchschnittskosten und überprüfen Sie das Ergebnis numerisch mit K(x)/x bei x=2 und x=4.
a) Durchschnittskostenfunktion:
DK(x) = K(x)/x = (x³ − 3x + 54)/x = x² − 3 + 54/x
b) Betriebsoptimum:
DK'(x) = 2x − 54/x² = 0 ⟹ 2x³ = 54 ⟹ x³ = 27 ⟹ x = 3
c) 2. Ableitung:
DK''(x) = 2 + 108/x³ ⟹ DK''(3) = 2 + 108/27 = 2 + 4 = 6 > 0 ✓ → Minimum
d) Minimale Durchschnittskosten und Überprüfung:
DK(3) = 9 − 3 + 54/3 = 9 − 3 + 18 = 24 €/Stück
K(3) = 27 − 9 + 54 = 72 ⟹ 72/3 = 24 ✓
DK(2) = 4 − 3 + 27 = 28 > 24 ✓
DK(4) = 16 − 3 + 13,5 = 26,5 > 24 ✓
Das Betriebsoptimum liegt bei x=3 mit minimalen Stückkosten von 24 €. ✓