Betriebsoptimum

Beispiel

Ein Unternehmen hat die (simple und wenig realistische) Kostenfunktion $K(x) = x^3 - 2x + 250$

Das heißt, die Kosten in €

• bei 0 Stück sind $K(0) = 0^3 - 2 \cdot 0 + 250 = 250$
• bei 1 Stück $K(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + 250 = 249$ (die Kosten bei einem Stück sind also geringer als bei 0 Stück, das ist unrealistisch)
• bei 2 Stück $K(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + 250 = 254$
• und so weiter

Betriebsoptimum berechnen – Schritte

Durchschnittskostenfunktion bestimmen

Die Durchschnittskosten pro Stück erhält man, indem man die Kostenfunktion durch die Anzahl x teilt: $\frac{K(x)}{x} = x^2 - 2 + \frac{250}{x}$

Durchschnittskostenfunktion ableiten und gleich 0 setzen

Nun bildet man die erste Ableitung dieser Durchschnittskostenfunktion und setzt sie gleich 0:

$$2x - \frac{250}{x^2} = 0$$

Dabei resultiert der Vorzeichenwechsel beim zweiten Term daraus, dass $\frac{250}{x}$ auch als $250 \cdot x^{-1}$ geschrieben werden kann und dies abgeleitet ist $(-1) \cdot 250 \cdot x^{-2}$ und das kann dann wieder als $\frac{-250}{x^2}$ geschrieben werden.

Nach ein paar Umformungen erhält man x:

$$2x^3 - 250 = 0$$

$$2x^3 = 250$$

$$x^3 = 125$$

$$x = 5$$

2. Ableitung prüfen

Abschließend ist noch zu prüfen, ob die 2. Ableitung an der Stelle x = 5 größer 0 ist (nur dann liegt ein Minimum vor).

Die zweite Ableitung der Durchschnittskostenfunktion ist:

$$2 + \frac{500}{x^3}$$

An der Stelle x = 5:

$$2 + \frac{500}{5^3} = 2 + \frac{500}{125} = 2 + 4 = 6$$

Das ist > 0, es liegt also ein Minimum vor.

Ergebnis

Das Betriebsoptimum liegt also bei x = 5 Stück.

Hier sind die durchschnittlichen Kosten pro Stück mit $5^2 - 2 + \frac{250}{5} = 73$ am geringsten.