Definition
Betriebsminimum nennt man die Stückzahl, bei der für eine gegebene Kostenfunktion die durchschnittlichen variablen Kosten (pro Stück) minimal sind (während das Betriebsoptimum auf die durchschnittlichen – fixe und variable zusammen – Kosten abstellt).
Fixkosten werden hier also ignoriert.
(Zur Erinnerung: die variablen Kosten sind die Kosten, die sich mit der Produktionsmenge ändern, etwa die Materialkosten; fixe Kosten fallen unabhängig von der Höhe der Produktionsmenge an, etwa die Miete für die Produktionshalle oder die Abschreibungen für die Maschinen).
Beispiel
Ein Unternehmen hat die Kostenfunktion K(x) = x3 - 2x2 + 2x + 250.
Die variablen Kosten in der obigen Kostenfunktion sind Kv(x) = x3 - 2x2 + 2x; diese Kosten hängen von der Menge bzw. x ab (während die 250 die von der Produktionsmenge x unabhängigen Fixkosten sind).
Die variablen Kosten (pro Stück) mit ein paar Beispielzahlen:
x = 1 (es wird ein Stück produziert):
K(1) = 13 - 2 × 12 + 2 × 1 = 1 - 2 + 2 = 1
Bei einem Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück = 1 / 1 = 1.
x = 2 (es werden zwei Stück produziert):
K(2) = 23 - 2 × 22 + 2 × 2 = 8 - 8 + 4 = 4
Bei zwei Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück = 4 / 2 = 2.
Bei zwei Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück mit 2 höher als wenn nur ein Stück produziert wird; das kann schon mal nicht das Minimum sein.
x = 3 (es werden drei Stück produziert):
K(3) = 33 - 2 × 32 + 2 × 3 = 27 - 18 + 6 = 15
Bei drei Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück = 15 / 3 = 5.
Bei drei Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück mit 5 höher als wenn nur ein Stück oder zwei Stück produziert wird; auch das kann nicht das Minimum sein.
Man könnte jetzt mit 4 Stück et cetera weiter machen; das Betriebsminimum – die Menge, bei der die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück am geringsten sind – lässt sich aber rechnerisch ermitteln:
Betriebsminimum berechnen
Bedingungen für Betriebsminimum
Das Betriebsminimum ist da, wo
- die 1. Ableitung der variablen Stückkostenfunktion 0 ist und
- die 2. Ableitung der variablen Stückkostenfunktion > 0 ist.
Schritt 1: Variable Stückkostenfunktion aufstellen
Die variablen Stückkosten erhält man, indem man die variable Kostenfunktion durch die Anzahl x teilt:
Kv(x) / x = (x3 - 2x2 + 2x) / x = x2 - 2x + 2
Schritt 2: Variable Stückkostenfunktion ableiten
1. Ableitung bilden und gleich 0 setzen:
(Kv(x) / x)’ = 2x - 2 = 0
2x = 2
x = 1
2. Ableitung bilden:
(Kv(x) / x)’’ = 2
Die 2. Ableitung ist (hier für alle x) größer 0; das Betriebsminimum liegt deshalb bei x = 1 Stück. Hier sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück mit 12 - 2 × 1 + 2 = 1 am geringsten.
Selbsttest: Betriebsminimum
Aufgabe: Betriebsminimum berechnen
Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = x³ − 6x² + 12x + 50.
a) Bestimmen Sie die variablen Kosten Kv(x) (ohne den Fixkostenanteil).
b) Stellen Sie die variable Stückkostenfunktion Kv(x)/x auf.
c) Berechnen Sie das Betriebsminimum durch Ableiten und Nullsetzen. Prüfen Sie, ob die 2. Ableitung positiv ist.
d) Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie die variablen Stückkosten bei x=2 und x=4 mit dem Minimum vergleichen.
a) Variable Kosten:
Kv(x) = x³ − 6x² + 12x (die 50 sind Fixkosten, unabhängig von x)
b) Variable Stückkostenfunktion:
Kv(x)/x = (x³ − 6x² + 12x)/x = x² − 6x + 12
c) Betriebsminimum:
(Kv/x)' = 2x − 6 = 0 ⟹ x = 3
(Kv/x)'' = 2 > 0 ✓ → Minimum bestätigt
Kv(3)/3 = 9 − 18 + 12 = 3 € Stückkosten (variabel)
d) Vergleich:
x=2: Kv(2)/2 = 4−12+12 = 4 > 3 ✓
x=4: Kv(4)/4 = 16−24+12 = 4 > 3 ✓
Bei x=3 sind die variablen Stückkosten mit 3 € tatsächlich am niedrigsten. ✓