Arrow-Pratt-Maß

Arrow-Pratt-Maß Definition

Das Arrow-Pratt-Maß ist ein Maß für die Risikoeinstellung eines Entscheiders, etwa eines Investors.

Dazu benötigt man die Nutzenfunktion u(x) des Investors (mit u für utility function = Nutzenfunktion; x ist eine bestimmte Stelle, an der gemessen werden soll).

Berechnung

Das Arrow-Pratt-Maß r(x) mit r für risk bzw. Risiko berechnet sich so:

r(x) = -(u’’(x) / u'(x))

In Worten: die zweite Ableitung der Nutzenfunktion an der Stelle x wird geteilt durch die erste Ableitung der Nutzenfunktion an der Stelle x und der Quotient wird mit -1 multipliziert.

Interpretation

Ist das Arrow-Pratt-Maß an der Stelle x

  • = 0, ist der Entscheider risikoneutral;
  • > 0, ist der Entscheider risikoavers, scheut also das Risiko;
  • < 0, ist der Entscheider risikofreudig.

Beispiel

Beispiel: Arrow-Pratt-Maß

Die Nutzenfunktion eines Investors sei u(x) = x3 und das Arrow-Pratt-Maß soll an der Stelle x = 2 berechnet werden.

Die 1. Ableitung der Nutzenfunktion ist 3x2 und die 2. Ableitung ist 6x.

Das Arrow-Pratt-Maß ist:

r(x) = -(u’’(x) / u'(x)) = -(6x / 3x2) = -(2 / x)

An der Stelle x = 2:

r(2) = -(2 / 2) = -1

Das Risikomaß ist mit -1 < 0, der Investor ist an der Stelle risikofreudig.

An der Stelle x = 3 beispielsweise wäre das Arrow-Pratt-Maß r(3) = -(2 /3) = -2/3; immer noch negativ und damit risikofreudig, aber schon weniger.

Absolute Risikoaversion

Die obige Berechnung bezeichnet man auch als absolute Risikoaversion; um das deutlich zu machen, könnten wir rA(x) schreiben.

Relative Risikoaversion

Multipliziert man diese absolute Risikoaversion mit x, erhält man die relative Risikoaversion, zur Unterscheidung als rR(x) bezeichnet.

rR(x) = -(u’’(x) / u’(x)) × x = -(2 / x) × x = -2.

Während sich die absolute Risikoaversion bei der Beispiel-Nutzenfunktion je nach x ändert, bleibt die relative Risikoaversion hier mit -2 konstant.

Risikotoleranz

Bildet man den Kehrwert der absoluten Risikoaversion, erhält man die Risikotoleranz;:

rT(x) = 1/ -(u’’(x) / u’(x)) = 1 / -(2 / x) = -x / 2.

An der Stelle x = 2:

rT(2) = -2 / 2 = -1.