Definition
Die Minimalkostenkombination ist die Kombination von Produktionsfaktoren (zum Beispiel 3 Einheiten vom einen und 2 Einheiten vom anderen), mit der eine vorgegebene Outputmenge (zum Beispiel 6 Stück) mit minimalen Kosten hergestellt werden kann.
Beispiel
Produktions- und Kostenfunktion
Produktionsfunktion
Die Produktionsfunktion sei $x = s \cdot t$.
Dabei ist x die Outputmenge (zum Beispiel in Stück oder Liter), s der eine Einsatzfaktor (Arbeitszeit in Stunden) und t der zweite Einsatzfaktor (Maschinenzeit in Stunden).
So könnten beispielsweise mit 6 Arbeitsstunden und 1 Maschinenstunde $6 \cdot 1 = 6$ Outputeinheiten gefertigt werden.
Es gibt hier unzählige weitere Kombinationen, da s und t nicht unbedingt ganzzahlig sein müssen; es ginge also auch beispielsweise s = 2,4 Stunden (144 Minuten) und t = 2,5 Stunden (150 Minuten): x = 2,4 × 2,5 = 6.
Kostenfunktion
Eine Stunde Arbeitszeit kostet 2 €, eine Stunde Maschinenzeit kostet 3 €.
Die Kostenfunktion K ist dann:
K = 2s + 3t
Aufgabe
Es sollen 6 Outputeinheiten hergestellt werden.
Wie ist die Minimalkostenkombination, das heißt, mit welcher Kombination von Arbeits- und Maschinenstunden können die 6 Einheiten am günstigsten gefertigt werden?
Minimalkostenkombination berechnen
Um ein Minimum für die Kostenfunktion zu finden, muss sie abgeleitet und die 1. Ableitung gleich 0 gesetzt werden. Die Kostenfunktion hat zwei Variablen (s und t), das muss auf eine reduziert werden.
Wenn $s \cdot t = 6$ sein soll, dann ist $t = \frac{6}{s}$.
Dies in die Kostenfunktion eingesetzt:
$$K = 2s + 3 \cdot \frac{6}{s} = 2s + \frac{18}{s} = 2s + 18s^{-1}$$.
Die 1. Ableitung der Kostenfunktion nach s gleich 0 setzen:
$$K' = 2 - 18s^{-2} = 2 - \frac{18}{s^2} = 0$$
$$\frac{18}{s^2} = 2$$
$$18 = 2s^2$$
$$s^2 = 9$$
s könnte jetzt rechnerisch -3 oder 3 sein. Eine negative Anzahl von Arbeitsstunden ist sinnlos, die praktikable Lösung für s ist deshalb nur 3.
t ist $\frac{6}{s} = 6/3 = 2$.
Ergebnis und Kontrolle
Mit s = 3 und t = 2 ergibt sich die erwünschte Menge: x = s × t = 3 × 2 = 6.
Die minimalen Kosten, um 6 Einheiten zu fertigen, sind $K = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 6 + 6 = 12$ € mit 3 Arbeits- und 2 Maschinenstunden.
Es gibt also keine andere Kombination, mit der man 6 Einheiten günstiger herstellen könnte.
So würde die Kombination von s = 6 und t = 1 auch eine Menge von 6 × 1 = 6 Einheiten ergeben, die Kosten wären aber höher: $K = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 1 = 12 + 3 = 15$.
Bedingungen
Generell gilt:
- Die Minimalkostenkombination ist ein Punkt auf der Isoquante (Kombination aller Produktionsfaktoren, die denselben Output ergeben);
- Im Optimum entspricht die Steigung der Isoquante der Steigung der Isokostenlinie (Kombinationen von zwei Inputs mit denselben Gesamtkosten).
Selbsttest: Minimalkostenkombination
Aufgabe: Minimalkostenkombination berechnen
Gegeben sei die Produktionsfunktion x = s · t, mit s als Arbeitsstunden (Kosten: 4 €/h) und t als Maschinenstunden (Kosten: 1 €/h). Es sollen x = 4 Outputeinheiten hergestellt werden.
a) Stellen Sie die Kostenfunktion K(s) auf, indem Sie t über die Nebenbedingung s · t = 4 eliminieren.
b) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination durch Ableiten und Nullsetzen.
c) Berechnen Sie die minimalen Kosten.
d) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis: Sind die Kosten bei (s=2, t=2) höher?
a) Kostenfunktion K(s):
s · t = 4 ⟹ t = 4/s
K = 4s + 1·t = 4s + 4/s = 4s + 4s⁻¹
b) Minimalkostenkombination:
K'(s) = 4 − 4/s² = 0 ⟹ 4/s² = 4 ⟹ s² = 1 ⟹ s = 1
t = 4/s = 4/1 = 4
2. Ableitung: K''(s) = 8/s³ > 0 ✓ → Minimum bestätigt
Probe Output: x = 1 · 4 = 4 ✓
c) Minimale Kosten:
K = 4·1 + 1·4 = 4 + 4 = 8 €
d) Vergleich mit (s=2, t=2):
x = 2·2 = 4 ✓ (gleicher Output), aber K = 4·2 + 1·2 = 8 + 2 = 10 € > 8 €
Die Minimalkostenkombination (1, 4) ist günstiger als (2, 2). ✓