Haushaltsoptimum
Haushaltsoptimum Definition
Die Frage nach dem Haushaltsoptimum ist die Frage, welches Güterbündel der Haushalt aus allen für ihn erschwinglichen Güterbündeln (die auf oder unterhalb seiner Budgetgeraden liegen) wählt.
Das Haushaltsoptimum ist ein Punkt auf der Budgetgeraden und nicht unterhalb der Budgetgeraden; der Nutzen wird i.d.R. maximiert ("mehr ist besser"), wenn das Budget vollständig ausgeschöpft wird.
Nun wird von diesen möglichen Güterbündeln auf der Budgetgerade dasjenige gesucht, das den (durch die Nutzenfunktion abgebildeten) Nutzen maximiert.
Das könnte man lösen
- durch Ausprobieren (man berechnet den Nutzen für alle möglichen auf der Budgetgeraden liegenden Güterbündel, der höchste berechnete Nutzenwert ist das Haushaltsoptimum);
- durch ein Optimierungsproblem (maximiere den Nutzen unter der Nebenbedingung, dass die Budgetbeschränkung eingehalten wird) oder
- durch das sog. 2. Gossensche Gesetz, wonach im Haushaltsoptimum das Verhältnis der Grenznutzen zweier Güter (die Grenzrate der Substitution) dem Verhältnis der Preise der beiden Güter entspricht (die Methode wird im Beispiel unten angewandt).
Es kann auch mehrere Haushaltsoptima geben.
Alternative Begriffe: Haushaltsgleichgewicht.
Beispiel
Beispiel: Haushaltsoptimum bestimmen
Die Nutzenfunktion U (x1, x2) sei 2 × x1 × x2 (mit x1 für die Menge von Gut 1 und x2 für die Menge von Gut 2).
Dann ist der Grenznutzen MU1 (Ableitung der Nutzenfunktion nach x1) = 2 × x2 und der Grenznutzen MU2 (Ableitung der Nutzenfunktion nach x2) = 2 × x1.
Die Grenzrate der Substitution ist 2 x2 / 2 x1 = x2/x1.
Die Budgetrestriktion sei 1 x1 + 2 x2 = 60 (x1 hat einen Preis von 1 €, x2 hat einen Preis von 2 € und das verfügbare Einkommen / Budget ist 60 €).
Bedingung für Haushaltsoptimum
Für das Haushaltsoptimum gilt:
Grenzrate der Substitution = Preisverhältnis.
x2/x1 = 1 €/2 € = 1/2; daraus folgt: x1 = 2 x2.
Eingesetzt in die Budgetrestriktion:
2 x2 + 2 x2 = 60; daraus folgt 4 x2 = 60 bzw. x2 = 15.
x1 ist dann 2 × 15 = 30.
Das Haushaltsoptimum liegt bei dem Güterbündel (30, 15) mit dem Nutzen U (30, 15) = 2 × 30 × 15 = 900.
Alternativ kann die Optimierung auch mit der Lagrange-Funktion durchgeführt werden.