Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
Die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion ist eine substitutionale Nutzenfunktion, das heißt, die Güter x1 und x2 können gegeneinander ausgetauscht werden.
Ihre allgemeine Form lautet: u(x1; x2) = x1α × x2β.
Dabei liegen α und β zwischen 0 und 1.
Beispiel
Beispiel: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
Die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion sei: u(x1; x2) = x10,4 × x20,6.
Man sieht hier schon, dass x2 vom Haushalt bezüglich seines Nutzens höher gewertet wird als x1 (x2 mit dem höheren Exponenten von 0,6 gegenüber 0,4 bei x1).
Dass bedeutet: wenn man x1 gegen x2 so tauschen möchte, dass der Nutzen konstant bleibt, wird man mehr Einheiten von x1 aufgeben müssen oder erhalten, als man von x2 bekommt oder abgeben muss.
Mit Beispielzahlen:
u(5; 5) = 50,4 × 50,6 = 1,9036 × 2,6265 = 5 (die multiplizierten Zahlen haben mehr Nachkommastellen, hier gerundet).
Wenn man also 5 Einheiten von x1 konsumiert und 5 Einheiten von x2, hat man eine Nutzen von 5.
Grenzrate der Substitution berechnen
Die Grenzrate der Substitution (GRS) gibt an, in welchem Verhältnis Gut 1 und Gut 2 getauscht werden, ohne dass sich der Nutzen des Haushalts ändert.
Die Grenzrate der Substitution für die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion erhält man, indem man den Quotienten aus dem Grenznutzen von x1 (Gut 1) und dem Grenznutzen von x2 (Gut 2) bildet.
Das soll hier zunächst allgemein gemacht werden:
Der Grenznutzen von Gut 1 entspricht der 1. Ableitung der Nutzenfunktion nach x1 , das ergibt α × x1α - 1 × x2β.
Der Grenznutzen von Gut 2 entspricht der 1. Ableitung der Nutzenfunktion nach x2, das ergibt β × x1α × x2β - 1.
Die Grenzrate der Substitution ist somit:
$$\frac{\alpha \cdot x_1^{\alpha - 1} \cdot x_2^{\beta}}{\beta \cdot x_1^{\alpha} \cdot x_2^{\beta - 1}}$$
$$= \frac{\alpha \cdot x_2}{\beta \cdot x_1}$$
Anmerkung: in der obigen Rechnung kürzen sich $x_1^{\alpha - 1}$ und $x_1^{\alpha}$ heraus (so wie zum Beispiel bei $x^{3 - 1} = x^2$ und $x^3$; ein x bleibt übrig). Analog für β.
Mit den Beispielzahlen:
$$GRS = \frac{0,4 \cdot 5}{0,6 \cdot 5} = \frac{0,4}{0,6} = \frac{2}{3}$$
Das bedeutet:
Wenn man x1 und x2 tauschen / substituieren und dabei denselben Nutzen behalten möchte, sind 3 Einheiten von x1 so gut / viel wert wie 2 Einheiten von x2.
Kontrolle:
Wir erhöhen die Menge von x1 um 3 Hundertstel Einheiten von 5 auf 5,03 (und gehen dabei davon aus, dass die Einheiten derart teilbar sind, zum Beispiel bei Milch und Zucker) und reduzieren die Menge von x2 um 2 Hundertstel Einheiten von 5 auf 4,98; der Nutzen ist:
u(5,03; 4,98) = 5,030,4 × 4,980,6 = 4,999940008 = gerundet 5.