Definition
Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn
- beide dieselbe Dimension haben (zum Beispiel beide eine 2 × 2 - Matrix mit je 4 Elementen sind) und
- wenn alle Elemente positionsweise gleich sind (zum Beispiel a11 = b11, a12 = b12 und so weiter).
Beispiele
Im folgenden Beispiel ist die Gleichheit von Matrix A und Matrix B offensichtlich:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
Im diesem Beispiel hingegen ist die Gleichheit nicht so offensichtlich (aber vorhanden):
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
$$B = \begin{pmatrix} 5^0 & 2 \\ \sqrt{9} & 2^2 \end{pmatrix}$$
Fazit
- Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn sie dieselbe Dimension haben und alle Elemente positionsweise übereinstimmen: aij = bij.
- Beide Bedingungen (gleiche Dimension und elementweise Gleichheit) müssen gleichzeitig erfüllt sein.
- Elemente dürfen unterschiedlich notiert sein (z. B. 4 = 22 = √16), solange sie denselben Wert ergeben.
Selbsttest: Gleichheit von Matrizen
Aufgabe: Fehlende Elemente für Matrizengleichheit bestimmen
Die Matrizen A und B sollen gleich sein:
$$A = \begin{pmatrix}x+1 & 3 \\ 2 & y-2\end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix}4 & 3 \\ 2 & 5\end{pmatrix}$$
Bestimmen Sie die Werte von x und y.
Bedingung: A = B erfordert aij = bij für alle Positionen.
Position (1,1): x + 1 = 4 → x = 3
Position (1,2): 3 = 3 ✓
Position (2,1): 2 = 2 ✓
Position (2,2): y − 2 = 5 → y = 7
Probe:
$$A = \begin{pmatrix}3+1 & 3 \\ 2 & 7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 3 \\ 2 & 5\end{pmatrix} = B \checkmark$$