Definition
Eine quadratische Matrix A ist nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl n größer 1 (also 2, 3, 4, 5 ...) oder gleich 1 (nur bei der Nullmatrix selbst der Fall) gibt, für die gilt:
An = 0
Das heißt: A potenziert mit n ergibt die Nullmatrix.
Es kann auch mehrere derartige Potenzen geben, zum Beispiel kann das Quadrat A2 und die kubische Potenz A3 die Nullmatrix ergeben; die kleinste derartige Potenz ist dann der Nilpotenzgrad bzw. Nilpotenzindex.
Beispiel
Die Matrix A
$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
ist nilpotent, denn die Matrix quadriert bzw. in Potenz 2 gesetzt ergibt die Nullmatrix:
$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Die zweite Potenz von A ergibt die Nullmatrix, der Nilpotenzgrad ist 2.
Fazit
- Eine nilpotente Matrix erfüllt An = 0 für eine natürliche Zahl n ≥ 1; die kleinste solche Zahl ist der Nilpotenzgrad.
- Nilpotente Matrizen haben stets Determinante 0 und alle Eigenwerte sind 0.
- Sonderfall: die Nullmatrix ist nilpotent mit Nilpotenzgrad 1 (01 = 0).
Selbsttest: Nilpotente Matrix
Aufgabe: Nilpotenz nachweisen
Gegeben ist die Matrix A:
$$A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
Zeigen Sie, dass A nilpotent ist, und bestimmen Sie den Nilpotenzgrad.
Schritt 1: A2 berechnen:
$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \ne 0$$
Schritt 2: A3 berechnen:
$$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = 0 \checkmark$$
Ergebnis: A ist nilpotent. Da A2 ≠ 0 und A3 = 0, ist der Nilpotenzgrad 3.