Definition
Bei einer Nullmatrix sind alle Matrixelemente 0.
Beispiel
Das ist eine quadratische Nullmatrix (mit gleich vielen Zeilen und Spalten):
$$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Es geht aber auch jede andere Matrix mit nur Nullen, zum Beispiel:
$$\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Eigenschaften einer quadratischen Nullmatrix
Die Determinante, die Spur (die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen von links oben nach rechts unten) und der Rang (die höchste Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten) einer quadratischen Nullmatrix (mit 1 × 1, 2 × 2 , 3 × 3 und so weiter Elementen) sind immer 0.
Rechenregeln
Die Nullmatrix ist das neutrale Element bei einer Addition oder Subtraktion von Matrizen (so wie es die Zahl 0 beim einfachen Rechnen ist).
Während beim einfachen Rechnen aus a × b = 0 mit zwei Zahlen a und b folgt, dass entweder a oder b oder beide 0 sind, kann die Multiplikation zweiter Matrizen zu einer Nullmatrix führen, ohne dass eine der beiden Matrizen eine Nullmatrix ist.
Multipliziert man eine quadratische Matrix mit der Nullmatrix, ist das Ergebnis die Nullmatrix.
Fazit
- Bei einer Nullmatrix sind alle Elemente 0; Determinante, Spur und Rang einer quadratischen Nullmatrix sind ebenfalls 0.
- Die Nullmatrix ist das neutrale Element der Matrizenaddition und -subtraktion (analog zur Zahl 0 bei normalen Rechenoperationen).
- Das Matrizenprodukt zweier Matrizen kann eine Nullmatrix ergeben, ohne dass eine der Matrizen selbst eine Nullmatrix ist – diese Besonderheit gibt es bei Zahlen nicht.
Selbsttest: Nullmatrix
Aufgabe: Nullmatrix als Produkt
Gegeben sind die zwei Matrizen A und B:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}-2 & -2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$$
Berechnen Sie das Matrizenprodukt A × B. Stellen Sie dann fest, ob das Ergebnis die Nullmatrix ist, und erläutern Sie kurz, was dieses Ergebnis für das Rechnen mit Matrizen bedeutet.
Matrizenprodukt A × B:
$$A \times B = \begin{pmatrix}1\cdot(-2)+2\cdot 1 & 1\cdot(-2)+2\cdot 1 \\ 2\cdot(-2)+4\cdot 1 & 2\cdot(-2)+4\cdot 1\end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix}-2+2 & -2+2 \\ -4+4 & -4+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$
Ergebnis: A × B = Nullmatrix.
Bedeutung: Weder A noch B ist die Nullmatrix, trotzdem ergibt ihr Produkt die Nullmatrix. Bei gewöhnlichen Zahlen gilt: a × b = 0 impliziert a = 0 oder b = 0. Bei Matrizen gilt dieses Prinzip nicht – das Produkt kann auch dann 0 sein, wenn beide Faktoren von null verschieden sind.