Definition
Die Spur einer Matrix gibt es nur für quadratische Matrizen (zum Beispiel mit 2 Zeilen und 2 Spalten).
Die Spur ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten).
Mathematisch:
$$Spur (A) = \sum_{i=1}^n a{ii}$$
Also die Summe der Matrixelemente a11, a22, a33 und so weiter (je nach Größe der quadratischen Matrix):
$$A = \begin{pmatrix}\color{red}{a_{11} } & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & \color{red}{a_{22} } & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & \color{red}{a_{33} } \end{pmatrix}$$
Beispiele
$$A = \begin{pmatrix}\color{red}{1} & 2 \\ 3 & \color{red}{4} \end{pmatrix}$$
Die Spur der Matrix A ist: Spur (A) = 1 + 4 = 5.
$$B = \begin{pmatrix}\color{red}{1} & 2 & 3 \\ 4 & \color{red}{5} & 6 \\ 7 & 8 & \color{red}{9} \end{pmatrix}$$
Die Spur der Matrix B ist: Spur (B) = 1 + 5 + 9 = 15.
Fazit
- Die Spur ist nur für quadratische Matrizen definiert und ergibt sich als Summe der Hauptdiagonalelemente: Spur(A) = a11 + a22 + … + ann.
- Die Hauptdiagonale verläuft von links oben nach rechts unten; alle anderen Elemente werden nicht berücksichtigt.
- Spur(A) = 0 bedeutet lediglich, dass sich die Diagonalelemente zu 0 aufheben – daraus folgen keine weiteren allgemeinen Eigenschaften der Matrix.
Selbsttest: Spur einer Matrix
Aufgabe: Spur einer Matrix berechnen
Die Matrix G ist eine 3 × 3 - Matrix mit bekannten Diagonalelementen g11 = 7 und g22 = 8. Die Spur der Matrix G beträgt 20.
a) Berechnen Sie das fehlende Diagonalelement g33.
b) Anschließend wird eine neue Matrix H gebildet:
$$H = \begin{pmatrix}4 & 2 & 9 \\ 1 & 6 & 3 \\ 5 & 7 & 11\end{pmatrix}$$
Berechnen Sie Spur(H).
a) Fehlende Diagonalelement g33:
Formel: Spur(G) = g11 + g22 + g33
Umstellen: g33 = Spur(G) − g11 − g22
Einsetzen: g33 = 20 − 7 − 8 = 5
b) Spur(H):
Formel: Spur(H) = h11 + h22 + h33
Einsetzen: Spur(H) = 4 + 6 + 11 = 21