Definition
Mit der Regel von Sarrus kann die Determinante einer quadratischen 3 × 3 Matrix berechnet werden.
Alternative Begriffe: Jägerzaun-Regel, Sarrus-Regel, Sarussche Regel, Satz von Sarrus.
Beispiel
Die Beispiel-Matrix sei:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
Regel von Sarrus anwenden
Dafür schreibt man die ersten beiden Spalten nochmals rechts daneben:
$$|A| = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix}$$
Nun
- multipliziert man die Elemente auf den 3 von links oben nach rechts unten verlaufenden Diagonalen und addiert diese Werte und
- multipliziert die Elemente auf den 3 von links unten nach rechts oben aufsteigenden Diagonalen und zieht diese Werte ab.
$$det (A) = \vert A \vert$$
$$= (1 \cdot 5 \cdot 9) + (2 \cdot 6 \cdot 7) + (3 \cdot 4 \cdot 8)$$
$$- (7 \cdot 5 \cdot 3) - (8 \cdot 6 \cdot 1) - (9 \cdot 4 \cdot 2)$$
= 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0
Die Determinante der obigen Matrix ist also 0.
Anwendbarkeit, Beschränkung
Die Sarrus-Regel wird für 3 x 3 - Matrizen verwendet.
Sie kann zwar auch für 2 x 2 - Matrizen angewendet werden, das geht aber anders einfacher und schneller.
Für größere Matrizen (4 x 4) kann die Sarrus-Regel nicht angewendet werden, hier hilft der Laplacesche Entwicklungssatz.
Siehe alternative Methoden zur Berechnung der Determinante in der Übersicht.
Fazit
- Die Regel von Sarrus berechnet die Determinante einer 3 × 3 - Matrix: Die ersten zwei Spalten rechts anhängen, dann drei Abwärts-Diagonalen addieren und drei Aufwärts-Diagonalen subtrahieren.
- Sie gilt ausschließlich für 3 × 3 - Matrizen – für größere Matrizen ist der Laplace-Entwicklungssatz nötig.
- Ein Ergebnis von 0 bedeutet, dass die Matrix singulär ist (nicht invertierbar).
Selbsttest: Regel von Sarrus
Aufgabe: Determinante mit der Regel von Sarrus
Berechnen Sie die Determinante der Matrix A mit der Regel von Sarrus:
$$A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -1\end{pmatrix}$$
Erste zwei Spalten rechts anhängen:
$$\left(\begin{array}{ccc|cc}2 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & -1 & 1 & 4\end{array}\right)$$
Diagonalen berechnen:
Abwärts-Diagonalen (positiv):
d1 = 2 · (−1) · (−1) = 2
d2 = 1 · 2 · 1 = 2
d3 = 0 · 3 · 4 = 0
Aufwärts-Diagonalen (negativ):
u1 = 0 · (−1) · 1 = 0
u2 = 2 · 2 · 4 = 16
u3 = (−1) · 3 · 1 = −3
Ergebnis:
det(A) = (2 + 2 + 0) − (0 + 16 + (−3)) = 4 − 13 = −9