Definition
Die Exponentialverteilung ist eine stetige Verteilung.
Mit Hilfe der Exponentialverteilung können vor allem Lebensdauer- oder Wartezeitenprobleme modelliert werden.
Die Exponentialverteilung ist eng mit der Poisson-Verteilung verwandt. Während letztere eine diskrete Verteilung ist und die Zufallsvariable die Anzahl des Eintretens eines bestimmten Ereignisses (eine diskrete Größe) widerspiegelt, ist die Exponentialverteilung eine stetige Verteilung mit einer Zufallsvariablen, die beispielsweise den zeitlichen Abstand (eine stetige Größe) zwischen 2 Ereignissen darstellt.
Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung
Der Durchschnitts- bzw. Erwartungswert der Exponentialverteilung ist entsprechend 1/Erwartungswert der Poissonverteilung.
Beispiel
Der Erwartungswert λ im Beispiel zur Poisson-Verteilung war 5 (Kundenbesuche je Stunde).
Der Erwartungswert der Exponentialverteilung für den zeitlichen Abstand zwischen 2 Kundenbesuchen ist dann 1/λ = 1/5 = 0,20 Stunden = 12 Minuten.
Der Erwartungswert der Exponentialverteilung ist also 1/λ und ihre Varianz ist 1/λ2 (bzw. ihre Standardabweichung als Wurzel der Varianz ist 1/λ; das heißt, Erwartungswert und Standardabweichung sind identisch).
Beispiel
Beispiel: Exponentialverteilung
Die durchschnittliche Lebensdauer (Nutzungsdauer) einer Maschine sei 10 Jahre.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine während der Laufzeit kaputt geht, sei exponentialverteilt.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine innerhalb der ersten 5 Jahre kaputt geht?
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung lautet:
$$F(x) = \begin {cases} 1 - e^{-\lambda \cdot x} & x \geq 0 \\ 0 & x \lt 0 \end {cases}$$
Dabei ist
- der Parameter λ (Lambda) der Kehrwert der mittleren, durchschnittlichen Lebensdauer bzw. der Kehrwert des Erwartungswerts, hier: 1/10 = 0,1;
- x ist die interessierende Lebensdauer und
- e ist die Eulersche Zahl 2,71828 (wenn man sie mit nur 5 Nachkommastellen darstellt).
F (5 Jahre) = 1 - e- 0,1 × 5 = 1 - e- 0,5 = 1 - 2,71828 -0,5 = 1 - 0,6065 = 0,3935 (ca. 39 %).
"Höchstens"-Wahrscheinlichkeit
Mit ca. 39 % Wahrscheinlichkeit hält die Maschine maximal 5 Jahre oder mit anderen Worten: 39 % der Maschinen fallen bereits innerhalb der ersten 5 Jahre aus.
Dichtefunktion
Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung lautet:
$$f(x) = \begin {cases} \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} & x \geq 0 \\ 0 & x \lt 0 \end {cases}$$
Die Dichtefunktion für die Exponentialverteilung gezeichnet:
Die Wahrscheinlichkeitsdichte entspricht der Fläche unter der Kurve (hier: bis 5 Jahre).
"Mindestens"-Wahrscheinlichkeit
Soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass die Maschine mindestens 5 Jahre hält, ist dies e- λ x = e-0,1 × 5 = e-0,5 = 0,6065 (ca. 60 %); oben wurde die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet.
Fazit
- Die Exponentialverteilung modelliert stetige Warte- und Lebensdauern; ihre Verteilungsfunktion lautet F(x) = 1 − e−λ x.
- Erwartungswert und Standardabweichung sind identisch: E(X) = σ = 1 / λ
- Die Varianz beträgt Var(X) = 1 / λ2.
- Sie ist die stetige Entsprechung der Poisson-Verteilung: λ gibt die mittlere Ereignisrate an.
Selbsttest: Exponentialverteilung
Aufgabe: Exponentialverteilung
Die Lebensdauer einer Pumpe ist exponentialverteilt mit λ = 0,2 Ausfälle je Jahr (mittlere Lebensdauer 5 Jahre). Berechnen Sie:
(a) Erwartungswert E(X) und Varianz Var(X) der Lebensdauer,
(b) die Wahrscheinlichkeit, dass die Pumpe innerhalb der ersten 3 Jahre ausfällt.
(a) Erwartungswert und Varianz:
E(X) = 1 / λ = 1 / 0,2 = 5 Jahre (= mittlere Lebensdauer ✓)
Var(X) = 1 / λ2 = 1 / 0,04 = 25 Jahre2
(b) Wahrscheinlichkeit Ausfall innerhalb 3 Jahre:
F(3) = 1 − e−λ · x = 1 − e−0,2 · 3 = 1 − e−0,6
e−0,6 ≈ 0,5488 → F(3) = 1 − 0,5488 = 0,4512 ≈ 45,12 %
Mit rund 45 % Wahrscheinlichkeit fällt die Pumpe in den ersten 3 Jahren aus.
Rechner: Exponentialverteilung
Berechnet Erwartungswert, Varianz und Wahrscheinlichkeiten für eine exponentialverteilte Zufallsvariable X.
| Kennzahl | Wert |
|---|---|
| E(X) = 1 / λ | |
| Var(X) = 1 / λ2 | |
| σ(X) = 1 / λ | |
| F(x) = P(X ≤ x) | |
| P(X > x) |