Definition
Venn-Diagramme werden zur Veranschaulichung in der Mengenlehre eingesetzt.
Dadurch können zum Beispiel Schnittmengen dargestellt und Wahrscheinlichkeiten abgebildet werden.
Alternative Begriffe: Mengendiagramm.
Beispiel
Beispiel: Venn-Diagramm
Beim Roulette setzt ein Spieler auf die ersten 12 Zahlen (also die zwölf Zahlen 1, 2, ..., 12) und auf "ungerade" (also die achtzehn Zahlen 1, 3, 5, 7, ..., 35).
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit beiden Einsätzen gewinnt?
Die Schnittmenge der ersten zwölf Zahlen mit "ungerade" sind die sechs Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11.
Dies kann mit einem Venn-Diagramm dargestellt werden:
In dem obigen Diagramm werden in den großen Kreisen die Anzahlen der Zahlen angegeben, die nicht zur Schnittmenge gehören; zusammen mit der Schnittmenge ergeben sich jeweils die gesamten Zahlen für "Erste zwölf Zahlen" (6 + 6 = 12) und "Ungerade Zahlen" (12 + 6 = 18).
Die Roulette-Kugel fällt auf eine der Zahlen 1 bis 36 oder die 0 (37 Möglichkeiten). Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit beiden Einsätzen gewinnt (das heißt, dass eine der Zahlen 1, 3, 5, 7, 9 oder 11 kommt), ist somit 6/37 = ca. 0,162 bzw. 16,2 %.
Fazit
- Venn-Diagramme visualisieren Mengen und ihre Beziehungen (Schnitt, Vereinigung, Komplement)
- Die Schnittmenge A ∩ B enthält alle Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören
- P(A ∩ B) = |A ∩ B| / |Ω| — Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens beider Ereignisse
- Sind A und B disjunkt (A ∩ B = ∅), gilt P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Selbsttest: Venn-Diagramm
Aufgabe: Venn-Diagramm und Schnittmengenwahrscheinlichkeit
In einer Schulklasse mit 30 Schülerinnen und Schülern spielen 18 Fußball (Menge F) und 12 spielen Basketball (Menge B). 5 Schüler spielen beide Sportarten.
a) Wie viele Schüler spielen ausschließlich Fußball? b) Wie viele Schüler spielen Fußball oder Basketball (oder beides)? c) Berechnen Sie P(F ∩ B), P(F ∪ B) und P(weder noch) für eine zufällig ausgewählte Person.
a) Nur Fußball:
|F| − |F ∩ B| = 18 − 5 = 13 Schüler
b) Fußball oder Basketball (Vereinigung):
|F ∪ B| = |F| + |B| − |F ∩ B| = 18 + 12 − 5 = 25 Schüler
c) Wahrscheinlichkeiten:
P(F ∩ B) = 5 / 30 = 1/6 ≈ 16,7 %
P(F ∪ B) = 25 / 30 = 5/6 ≈ 83,3 %
P(weder noch) = 1 − P(F ∪ B) = 1 − 5/6 = 1/6 ≈ 16,7 %
Probe: 13 (nur F) + 7 (nur B) + 5 (beide) + 5 (keines) = 30 ✓