Definition
Urnenmodelle dienen der Modellierung und Veranschaulichung von ein- oder mehrstufigen Zufallsprozessen (bei diskreten Verteilungen).
Mit dem Urnenmodell können viele unterschiedliche, reale Fragestellungen abgebildet und auf bekannte Problemlösungen und Verteilungen zurückgeführt werden.
Das Urnenmodell besteht aus einer oder mehreren "Urnen" (Schüsseln, Behälter), in die man nicht hineinsehen kann (oder aus der man blind oder durch ein Zufallsgerät zieht) und Kugeln in der Urne, die man je nach Fragestellung
- einzeln unterscheiden kann (zum Beispiel durchnummerierte Kugeln wie beim Lotto) oder
- nach Gruppen unterscheiden kann (zum Beispiel 4 weiße, 4 schwarze und 2 rote "Kugeln", wie bei einer Packung bunter Schokolinsen).
Alternative Begriffe: Urnenexperiment.
3 verschiedene Urnenmodelle
Für das Ziehen der Kugeln gibt es 3 unterschiedliche Möglichkeiten, die zu unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten führen:
- die Kugeln werden gleichzeitig "mit einem Griff" gezogen (Zufallsexperiment ohne Zurücklegen; die Reihenfolge der Ziehung ist egal, es gibt ja keine Reihenfolge); das entspricht in der Kombinatorik der Kombination ohne Wiederholung;
- die Kugeln werden nacheinander gezogen
- ohne Zurücklegen (eine einmal gezogene Kugel bleibt draußen); das entspricht in der Kombinatorik ebenfalls der Kombination ohne Wiederholung bzw. bei den Wahrscheinlichkeitsverteilungen der hypergeometrischen Verteilung; Beispiel: Lotto 6 aus 49;
- mit Zurücklegen (eine einmal gezogene Kugel wird wieder zurückgelegt in die Urne), das entspricht in der Kombinatorik der Kombination mit Wiederholung bzw. bei den Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Binomialverteilung (wenn die Kugeln nur 2 Farben haben können) bzw. der Multinomialverteilung (wenn die Kugeln mehr als 2 Farben haben können); Beispiel: Qualitätskontrolle einer Produktionscharge durch optische Prüfung (die "Kugeln" sind die Produkte und die 2 "Farben" stehen für die 2 Zustände "Produkt in Ordnung" und "Produkt fehlerhaft").
Der Unterschied zwischen "mit Zurücklegen" und "ohne Zurücklegen" kann da ignoriert werden, wo aus großen Mengen gezogen wird.
Werden beispielsweise aus einem Behälter mit 10.000 Teilen, von denen 1 % als defekt angenommen wird, eine Stichprobe von 10 Stück für die Qualitätskontrolle entnommen, ist es egal, ob man diese nach der jeweiligen Kontrolle zurücklegt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit, ein defektes Teil zu ziehen, wird nur unmerklich beeinflusst.
Fazit
- Das Urnenmodell abstrahiert Zufallsexperimente als Ziehen von Kugeln aus einer Urne
- Ohne Zurücklegen → hypergeometrische Verteilung; mit Zurücklegen → Binomial- bzw. Multinomialverteilung
- Gleichzeitiges Ziehen entspricht mathematisch dem Ziehen ohne Zurücklegen (keine Reihenfolge)
- Bei großen Grundgesamtheiten (N ≥ 100×n) ist der Unterschied zwischen mit/ohne Zurücklegen vernachlässigbar
Selbsttest: Urnenmodell
Aufgabe: Urnenmodell — mit und ohne Zurücklegen
Eine Urne enthält 6 rote und 4 blaue Kugeln (insgesamt 10 Kugeln). Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird. b) Berechnen Sie dieselbe Wahrscheinlichkeit, wenn mit Zurücklegen gezogen wird. c) Erklären Sie, warum die Ergebnisse unterschiedlich sind.
Zur Erinnerung: die Wahrscheinlichkeit P(A) = günstige Fälle / alle möglichen Fälle.
a) Ohne Zurücklegen:
P(1. rot) = 6/10; nach Ziehen einer roten Kugel: P(2. rot | 1. rot) = 5/9
P(beide rot) = 6/10 × 5/9 = 30/90 = 1/3 ≈ 33,3 %
b) Mit Zurücklegen:
P(1. rot) = 6/10 = 0,6; da zurückgelegt: P(2. rot) = 6/10 = 0,6
P(beide rot) = 0,6 × 0,6 = 0,36 = 36 %
c) Erklärung:
Ohne Zurücklegen verändert das Ergebnis der ersten Ziehung die Zusammensetzung der Urne — die Ereignisse sind abhängig. Mit Zurücklegen bleibt die Urne unverändert — die Ereignisse sind unabhängig. Deshalb ist P(beide rot ohne ZL) < P(beide rot mit ZL): Die erste rote Kugel verringert den Anteil roter Kugeln für den zweiten Zug.