Definition
Der t-Test kann angewendet werden, wenn eine Normalverteilung (mit den beiden unbekannten Parametern Erwartungswert μ und Varianz σ2) vorliegt.
Die Teststatistik der t-Verteilung wird mit folgender Formel berechnet:
$$t = \sqrt{n} \cdot \frac{(\bar x - \mu)}{s}$$
Dabei ist n der Stichprobenumfang, $\bar x$ der Mittelwert der Stichprobendaten, μ der Erwartungswert (bzw. der Vorgabewert für den Mittelwert der Grundgesamtheit) und s die Standardabweichung der Stichprobe.
Man unterscheidet den Einstichproben-t-Test (siehe unten) sowie den Zweistichproben-t-Test (als gepaarten oder ungepaarten t-Test).
Alternative Begriffe: Student-t-Test.
Beispiel: t-Test
Beispiel für Einstichproben-t-Test
In einer Molkerei werden 1-Liter-Milchflaschen abgefüllt. Es wird eine Normalverteilung derart angenommen, dass die Milchflaschen mit 1 Liter gefüllt sind, kleinere Abweichungen (z.B. um 0,01 l auf 1,01 l) kommen öfters vor, größere (z.B. um -0,05 l auf 0,95 l) weniger oft.
Es wird eine Stichprobe von 10 Flaschen gezogen, um zu kontrollieren, ob die Füllmenge korrekt ist (zweiseitiger Test: es soll weder zu wenig noch zu viel abgefüllt sein). Das Signifikanzniveau α wird auf 0,05 bzw. 5 % festgelegt.
Die gemessenen Mengen in der Stichprobe sind (in Liter): 0,95 / 1,05 / 0,97 / 0,98 / 0,99 / 1,01 / 1,02 / 0,99 / 1,00 und 1,14.
Hypothesen aufstellen
Die Nullhypothese H0 lautet: μ = 1,00 Liter.
Die Alternativhypothese H1 lautet entsprechend: μ ungleich 1,00 Liter.
Berechnung der Werte für die Formel der t-Teststatistik
Der arithmetische Mittelwert der Stichprobe ist 1,01 Liter.
Die Standardabweichung der Stichprobe ist 0,05333333.
Diese Werte eingesetzt in die Formel der Teststatistik ergibt:
$$t = \sqrt{10} \cdot \frac{(1,01 - 1,00)}{0,05333333}$$
$$= 0,59293$$
Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen
Für diesen zweiseitigen Test ist laut der Tabelle für die t-Verteilung (mit 10 - 1 = 9 Freiheitsgraden und 0,975 für 1 - α/2) der kritische Grenzwert t9, 0,975 = 2,2622, d.h. der Ablehnungsbereich umfasst (-∞, -t0,975) und (t0,975, ∞), das entspricht (-∞, -2,2622) und (2,2622, ∞)
Testentscheidung treffen
Da die Teststatistik mit 0,59293 nicht im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese nicht verworfen.
Fazit
- Der t-Test wird wie der Gauß-Test für Normalverteilungen eingesetzt – jedoch wenn die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt ist und durch die Stichprobenstandardabweichung geschätzt wird.
- Teststatistik (Einstichproben): t = √n × (x̅ − μ0) / s; Freiheitsgrade df = n − 1.
- Varianten: Einstichproben-t-Test, gepaarter t-Test (abhängige Stichproben), ungepaarter t-Test (unabhängige Stichproben).
- Je größer der Stichprobenumfang, desto ähnlicher wird die t-Verteilung der Standardnormalverteilung.
Selbsttest: t-Test
Die Freiheitsgrade beim Einstichproben-t-Test betragen n − 1.
Beim t-Test muss die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt sein.
Mit wachsendem Stichprobenumfang n nähert sich die t-Verteilung der Standardnormalverteilung an.
Aufgabe: t-Teststatistik berechnen
Der mittlere Schulrucksack-Inhalt von Grundschülern soll laut Empfehlung μ0 = 50 kg nicht überschreiten (das wäre im echten Leben natürlich viel zu viel).
Eine Stichprobe von n = 9 Schülern ergibt einen Mittelwert von x̅ = 52 kg und eine Stichprobenstandardabweichung von s = 6 kg.
Berechnen Sie die t-Teststatistik. Der kritische Wert bei df = 8 und zweiseitigem Test mit α = 5 % beträgt t8; 0,975 = 2,306. Wird H0 abgelehnt?
Formel: t = √n × (x̅ − μ0) / s
Einsetzen: t = √9 × (52 − 50) / 6 = 3 × 2 / 6 = 1,0
Freiheitsgrade: df = n − 1 = 9 − 1 = 8
Entscheidung: |1,0| < 2,306 → Teststatistik liegt im Annahmebereich → H0 wird nicht abgelehnt.
Der Unterschied von 2 kg ist bei n = 9 statistisch nicht signifikant.