Definition
Die Schnittmenge von 2 Mengen enthält die Elemente, die sowohl in der ersten Menge als auch in der zweiten Menge enthalten sind (analog bei mehr als 2 Mengen).
Alternative Begriffe: Durchschnitt von Mengen, Durchschnittsmenge.
Beispiel
Beispiel Schnittmenge
Basierend auf den Beispieldaten zum Venn-Diagramm: ein Spieler setzt beim Roulette (mit den Zahlen 0, 1, 2, ..., 36)
- auf die ersten 12 Zahlen (also die zwölf Zahlen 1, 2, ..., 12) sowie
- auf "ungerade" (also die achtzehn Zahlen 1, 3, 5, 7, ..., 35).
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Spieler mit beiden Einsätzen gewinnt, ist zunächst die Schnittmenge zu bilden.
Die Menge der ersten 12 Zahlen sei A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Die Menge der ungeraden Zahlen sei B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35}.
Schnittmenge berechnen
Die Schnittmenge $A \cap B$ von Menge A und Menge B ist {1, 3, 5, 7, 9, 11}; diese 6 Zahlen sind in beiden Mengen enthalten, deshalb gewinnt der Spieler bei diesen Zahlen mit beiden Einsätzen.
Schnittmenge – Wahrscheinlichkeit
Die Bildung der Schnittmenge ist hier der erste Schritt, um die Wahrscheinlichkeit für einen zweifachen Gewinn ausrechnen zu können. Von den 37 möglichen Zahlen eines Roulettelaufs sind die oben ermittelten 6 Zahlen der Schnittmenge "Zweifachgewinnzahlen" für den Spieler, die Wahrscheinlichkeit ist entsprechend 6/37 (ca. 16 %).
Mächtigkeit der Schnittmenge
Für die Mächtigkeit der Schnittmenge (die Anzahl der unterscheidbaren Elemente) gilt:
Mächtigkeit: |A ∩ B| ≤ min(|A|, |B|)
Die Mächtigkeit der Schnittmenge |A ∩ B|oben war 6.
|A| = 12.
|B| = 18.
Die Mächtigkeit der Schnittmenge ist immer kleiner gleich dem Minimum der Mächtigkeit der einbezogenen Mengen.
Fazit
- Schnittmenge A ∩ B enthält genau die Elemente, die sowohl in A als auch in B sind
- Sind A und B disjunkt (A ∩ B = ∅), haben sie kein gemeinsames Element
- Mächtigkeit: |A ∩ B| ≤ min(|A|, |B|)
- In der Wahrscheinlichkeitsrechnung: P(A ∩ B) = günstige Fälle beider Ereignisse / alle Fälle
Selbsttest: Schnittmenge
Aufgabe: Schnittmenge und Wahrscheinlichkeit
In einem Unternehmen mit 80 Mitarbeitenden sprechen 35 Französisch (Menge F) und 28 Spanisch (Menge S). 12 Mitarbeitende beherrschen beide Sprachen.
a) Bestimmen Sie die Schnittmenge F ∩ S und berechnen Sie |F ∩ S|. b) Berechnen Sie P(F ∩ S), also die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person beide Sprachen spricht. c) Wie viele Mitarbeitende sprechen nur Französisch, aber kein Spanisch?
a) Schnittmenge:
F ∩ S = Menge aller Mitarbeitenden, die sowohl Französisch als auch Spanisch sprechen
|F ∩ S| = 12 (direkt angegeben)
b) P(F ∩ S):
P(F ∩ S) = |F ∩ S| / Gesamtzahl = 12 / 80 = 0,15 = 15 %
c) Nur Französisch (kein Spanisch):
= |F| − |F ∩ S| = 35 − 12 = 23 Mitarbeitende
Probe: 23 (nur F) + 12 (F und S) = 35 = |F| ✓