Definition
Bei Stichprobenerhebungen stellt sich die Frage, wie groß die Stichprobe sein muss, um hinreichend sichere Ergebnisse / Aussagen bzgl. der Grundgesamtheit zu erhalten.
Im Falle einer Normalverteilung hängt der erforderliche Stichprobenumfang von 3 Faktoren ab:
- Standardabweichung der Grundgesamtheit,
- angestrebtes Konfidenzniveau und
- zugelassene Fehlergrenze.
Alternative Begriffe: Sample size.
Beispiel
Beispiel: Stichprobenumfang berechnen
Das Landesamt für Statistik in Bayern möchte die Durchschnittsgröße seiner männlichen Einwohner anhand einer Zufallsstichprobe schätzen.
Als Fehlergrenze werden 1 cm festgelegt, das Konfidenzniveau sei 95 % und aufgrund vergleichbarer Untersuchungen in anderen Bundesländern geht man davon aus, dass die Körpergröße der Männer einer Normalverteilung mit einer Standardabweichung von 2 cm unterliegt.
Wie groß muss die Stichprobe sein?
Formel für Stichprobenumfang
Der Stichprobenumfang kann mit folgender Formel berechnet werden:
Stichprobenumfang >= [(1,96 × 2,0) / 1,0]2 = 15,37 = 16 (immer aufgerundet).
Dabei ist 1,96 der z-Wert, der sich für das angestrebte Konfidenzniveau von 95 % aus der Standardnormalverteilung ergibt, 2,0 (cm) ist die Standardabweichung und 1,0 (cm) ist die Fehlergrenze.
Etwas mathematischer (mit e für error margin (Fehlergrenze)):
n ≥ (z · σ / e)2
Interpretation
Der Stichprobenumfang müsste also mindestens 16 betragen. Würden die 16 Körpergrößen der Stichprobe aufaddiert und durch 16 geteilt, erhielte man den Mittelwert, z.B. 1,80 m.
Unter Angabe der Fehlergrenze und des Konfidenzniveaus könnte man sagen: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ist die durchschnittliche Körpergröße 180 cm +/- 1 cm (liegt also im Intervall 1,79 bis 1,81 m).
Aufgrund der Quadrierung in der Formel wirken sich Änderungen der Parameter überproportional aus: wäre die Standardabweichung mit 4 cm statt 2 cm doppelt so hoch, würde sich der Stichprobenumfang auf 62 fast vervierfachen; ebenso, wenn man die Fehlergrenze von 1,0 cm auf 0,5 cm halbieren würde.
Fazit
- Der erforderliche Stichprobenumfang hängt bei Normalverteilung von drei Größen ab: Standardabweichung der Grundgesamtheit, Konfidenzniveau (z-Wert) und Fehlergrenze.
- Formel: n ≥ (z · σ / e)2 – immer auf die nächste ganze Zahl aufrunden.
- Wegen der Quadrierung wirken sich Parameteränderungen überproportional aus: doppelte Standardabweichung → vierfacher Stichprobenumfang.
- Je kleiner die erlaubte Fehlergrenze oder je höher das Konfidenzniveau, desto größer muss n sein.
Selbsttest: Stichprobenumfang
Der Stichprobenumfang wird immer aufgerundet, nie abgerundet.
Eine doppelt so große Standardabweichung verdoppelt den erforderlichen Stichprobenumfang.
Eine halbierte Fehlergrenze vervierfacht den erforderlichen Stichprobenumfang.
Aufgabe: Stichprobenumfang berechnen
Eine Meinungsforschungsagentur möchte den durchschnittlichen monatlichen Ausgaben für Lebensmittel in einer Stadt schätzen.
Aus Voruntersuchungen ist bekannt, dass die Standardabweichung σ = 50 € beträgt. Das Konfidenzniveau soll 95 % betragen (z = 1,96), die Fehlergrenze beträgt e = 5 €.
Wie groß muss die Stichprobe mindestens sein?
Formel: n ≥ (z · σ / e)2
Einsetzen: n ≥ (1,96 × 50 / 5)2 = (19,6)2 = 384,16
Ergebnis: n ≥ 385 (immer aufrunden)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der wahre Mittelwert innerhalb von ± 5 € um den Stichprobenmittelwert, wenn mindestens 385 Personen befragt werden.