Definition
Die t-Verteilung ist eine stetige symmetrische Verteilung und ähnelt in der Form der Glockenkurve der Normalverteilung bzw. Standardnormalverteilung, ist aber niedriger und breiter; d. h., die Daten streuen breiter um den Mittelwert (die Standardabweichung ist größer).
Die t-Verteilung kann verwendet werden, wenn die Varianz bzw. Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist (wodurch die Anwendung des Gauß-Tests verhindert wird).
Voraussetzungen für die Anwendung der t-Verteilung:
- die Grundgesamtheit muss zumindest annähernd normalverteilt sein (in dem Fall kann auch mit kleinen Stichproben gearbeitet werden) oder
- der Stichprobenumfang der Zufallsstichprobe muss >= 30 sein; mit steigendem Stichprobenumfang nähert sich die t-Verteilung der Normalverteilung immer mehr an.
Es gibt nicht nur eine t-Verteilung, sondern viele: die Werte der t-Verteilung hängen von der Anzahl der Freiheitsgrade und damit vom Stichprobenumfang ab: ist der Stichprobenumfang z. B. 20, ist die Anzahl der Freiheitsgerade 20 - 1 = 19. Der Erwartungswert / Mittelwert der t-Verteilung ist 0, die Standardabweichung bzw. die Streuung der t-Verteilung nimmt mit zunehmender Anzahl der Freiheitsgrade ab (und umso ähnlicher wird sie dadurch der Standardnormalverteilung; ab einer Stichprobengröße von 100 sind Standardnormalverteilung und t-Verteilung nahezu identisch).
Die t-Verteilung ist die Grundlage für den t-Test.
Alternative Begriffe: Student-t-Verteilung, Studentische t-Verteilung, Studentverteilung.
t-Verteilung Tabelle
In der folgenden t-Verteilungstabelle stehen in den Zeilen die Freiheitsgrade, in den Spalten die dazugehörigen p-Quantile 0,9 / 0,95 / 0,975 / 0,99 der t-Verteilung.
Ist der Stichprobenumfang z. B. 10, sind damit die Freiheitsgrade 10 - 1 = 9. Ist das Signifikanzniveau α 0,05, ist bei einem zweiseitigen Test das p-Quantil der t-Verteilung für 0,975 (1 - α/2 = 1 - 0,025 = 0,975; vorletzte Spalte) gesucht: der Wert für t9, 1 - α/2 = t9, 0,975 in der Tabelle ist 2,2622.
D. h., bei einer t-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden liegen nur jeweils 2,5 % über dem kritischen Wert von 2,2622 bzw. unter -2,2622 (da die t-Verteilung symmetrisch ist); 95 % liegen im Intervall - 2,2622 bis 2,2622.
|
0,9 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
|
|---|---|---|---|---|
|
1 |
3,0777 |
6,3138 |
12,7062 |
31,8205 |
|
2 |
1,8856 |
2,9200 |
4,3027 |
6,9646 |
|
3 |
1,6377 |
2,3534 |
3,1824 |
4,5407 |
|
4 |
1,5332 |
2,1318 |
2,7764 |
3,7469 |
|
5 |
1,4759 |
2,0150 |
2,5706 |
3,3649 |
|
6 |
1,4398 |
1,9432 |
2,4469 |
3,1427 |
|
7 |
1,4149 |
1,8946 |
2,3646 |
2,9980 |
|
8 |
1,3968 |
1,8595 |
2,3060 |
2,8965 |
|
9 |
1,3830 |
1,8331 |
2,2622 |
2,8214 |
|
10 |
1,3722 |
1,8125 |
2,2281 |
2,7638 |
|
11 |
1,3634 |
1,7959 |
2,2010 |
2,7181 |
|
12 |
1,3562 |
1,7823 |
2,1788 |
2,6810 |
|
13 |
1,3502 |
1,7709 |
2,1604 |
2,6503 |
|
14 |
1,3450 |
1,7613 |
2,1448 |
2,6245 |
|
15 |
1,3406 |
1,7531 |
2,1314 |
2,6025 |
|
16 |
1,3368 |
1,7459 |
2,1199 |
2,5835 |
|
17 |
1,3334 |
1,7396 |
2,1098 |
2,5669 |
|
18 |
1,3304 |
1,7341 |
2,1009 |
2,5524 |
|
19 |
1,3277 |
1,7291 |
2,0930 |
2,5395 |
|
20 |
1,3253 |
1,7247 |
2,0860 |
2,5280 |
Fazit
- Die t-Verteilung ist eine stetige, symmetrische Verteilung mit schwereren Randbereichen als die Standardnormalverteilung.
- Sie wird eingesetzt, wenn σ der Grundgesamtheit unbekannt ist – dann ist kein Gauß-Test möglich.
- Die Freiheitsgrade (degrees of freedom, kurz: df) berechnen sich als df = n − 1.
- Ab n ≈ 100 stimmt die t-Verteilung mit der Standardnormalverteilung nahezu überein.
Selbsttest: t-Verteilung
Aufgabe: t-Verteilung
Ein Forscher untersucht n = 21 Beobachtungen. Die Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt. Er möchte einen zweiseitigen t-Test mit α = 0,05 durchführen.
Bestimmen Sie (a) die Freiheitsgrade, (b) das gesuchte p-Quantil und (c) den kritischen t-Wert aus der Tabelle.
Schritt 1 — Freiheitsgrade:
df = n − 1 = 21 − 1 = 20
Schritt 2 — p-Quantil (zweiseitiger Test):
p = 1 − α / 2 = 1 − 0,025 = 0,975
Schritt 3 — Kritischer Wert (aus der Tabelle im Artikel):
t20; 0,975 = 2,0860
Liegt der Prüfwert außerhalb von [−2,0860; 2,0860], wird H0 abgelehnt.