Definition
Varianzhomogenität bedeutet, dass die Varianz bzw. Streuung der Daten bezüglich eines Merkmals in zwei oder mehr Grundgesamtheiten oder Gruppen / Stichproben in etwa gleich ist (homogen: gleich).
Warum wichtig?
Manche statistischen Analysen setzen voraus – um gut funktionieren und relevante Ergebnisse liefern zu können –, dass Varianzen im Wesentlichen homogen sind; beispielsweise der t-Test oder die Varianzanalyse (ANOVA).
Tests für Varianzhomogenität
Das wird üblicherweise mit bestimmten Tests überprüft, etwa dem Levene-Test.
Beispiel
Beispiel: Varianzen vergleichen
Ein Sportverein hat 2 Abteilungen: Tennis und Golf mit jeweils nur 3 Mitgliedern.
Die Altersstruktur beim Tennis ist: 25, 28 und 31 Jahre.
Die Altersstruktur beim Golf ist: 39, 51 und 63 Jahre.
Man sieht hier schon auf den ersten Blick, dass die Alterswerte beim Golf viel stärker streuen als beim Tennis; die Varianzen, welche diese Streuung messen, werden wohl nicht gleich / homogen sein.
Berechnungen
Das Durchschnittsalter beim Tennis ist: (25 + 28 + 31) / 3 = 84 / 3 = 28 Jahre.
Die Varianz beträgt: [(25 - 28)2 + (28 - 28)2 + (31 - 28)2]/ 3 = 18 / 3 = 6.
Das Durchschnittsalter beim Golf ist: (39 + 51 + 63) / 3 = 153 / 3 = 51 Jahre.
Die Varianz beträgt: [(39 - 51)2 + (51 - 51)2 + (63 - 51)2]/ 3 = 288 / 3 = 96.
Interpretation
Varianzhomogenität liegt hier offensichtlich nicht vor.
Üblicherweise prüft man dies aber nicht mit dem bloßen Auge, sondern (bei viel mehr Daten) mittels bestimmter Tests.
Fazit
- Varianzhomogenität bedeutet: Die Streuung (Varianz) ist in zwei oder mehr Gruppen in etwa gleich.
- Wichtige Voraussetzung für t-Test und ANOVA — sonst können die Ergebnisse verzerrt sein.
- Stichprobenvarianz: s2 = ∑(xi − x̅)2 / (n − 1).
- Überprüfung typischerweise mit dem Levene-Test.
Selbsttest: Varianzhomogenität
Aufgabe: Varianzhomogenität
Zwei Gruppen werden bei einer Prüfung verglichen:
Gruppe A: 72, 76, 80 Punkte — Gruppe B: 55, 75, 95 Punkte.
Berechnen Sie die Stichprobenvarianz s2 für jede Gruppe und beurteilen Sie, ob Varianzhomogenität vorliegt.
Gruppe A: x̅A = (72+76+80) / 3 = 76
s2A = [(72−76)2+(76−76)2+(80−76)2] / (3−1) = (16+0+16) / 2 = 16
Gruppe B: x̅B = (55+75+95) / 3 = 75
s2B = [(55−75)2+(75−75)2+(95−75)2] / (3−1) = (400+0+400) / 2 = 400
Verhältnis: s2B / s2A = 400 / 16 = 25 → stark unterschiedlich → keine Varianzhomogenität