Definition
Die Weibull-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig für die Analyse von Lebensdauern von beispielsweise Maschinen oder Bauteilen verwendet wird.
Die Verteilungsfunktion der Weibullverteilung gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass höchstens eine bestimmte Lebensdauer erreicht wird (zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil maximal 5 Jahre hält).
Beispiel
Beispiel: Weibull-Verteilung
Die Lebensdauer t eines Automotors sei weibullverteilt. Die charakteristische Lebensdauer T sei 10 Jahre und der sog. Formparameter β sei 2.
Der Formparameter spiegelt die Entwicklung der Ausfälle wider: ist der Formparameter β wie im Beispiel > 1, handelt es sich um eine zunehmende Ausfallrate. Ist der Formparameter β = 1, liegt eine Exponentialverteilung vor. >
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Motor im 1. Jahr ausfällt?
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion der Weibullverteilung lautet:
$$F(t) = \begin {cases} 1 - e^{-(\frac{t}{T})^\beta} & t \geq 0 \\ 0 & t \lt 0 \end {cases}$$
Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Motor bereits im 1. Jahr ausfällt ist:
$$F(1) =1 - e^{-(\frac{1}{10})^2} = 1 - e^{-\frac{1}{100}} = 1 - 0,990049834 = 0,009950166.$$
Die Wahrscheinlichkeit ist mit knapp 1 % also sehr gering.
Fazit
- Die Weibull-Verteilung beschreibt Lebensdauern mit F(t) = 1 − e−(t / T)β.
- T ist die charakteristische Lebensdauer, β der Formparameter.
- Für β = 1 vereinfacht sich die Weibull-Verteilung zur Exponentialverteilung.
- β > 1 bedeutet eine zunehmende Ausfallrate (z. B. Verschleiß).
Selbsttest: Weibull-Verteilung
Aufgabe: Weibull-Verteilung
Die Lebensdauer eines Maschinenbauteils ist weibullverteilt mit charakteristischer Lebensdauer T = 5 Jahre und Formparameter β = 3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil innerhalb der ersten 2 Jahre ausfällt.
Formel:
F(t) = 1 − e−(t / T)β
Einsetzen (t = 2, T = 5, β = 3):
Schritt 1: (t / T)β = (2 / 5)3 = 0,43 = 0,064
Schritt 2: e−0,064 ≈ 0,9380
Schritt 3: F(2) = 1 − 0,9380 = 0,0620 ≈ 6,20 %
Die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb der ersten 2 Jahre beträgt rund 6,2 %.
Rechner: Weibull-Verteilung
Berechnet die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) nach der Weibull-Formel: F(t) = 1 − e−(t/T)β
| Kennzahl | Wert |
|---|---|
| (t / T)β (Exponent) | |
| F(t) = P(X ≤ t) | |
| P(X > t) |