Definition
Das harmonische Mittel wird verwendet, um den Durchschnitt von relativen Angaben in Bezug auf eine Einheit (Verhältniszahlen wie zum Beispiel km pro Stunde, Tonnen Weizen je Hektar oder abgefüllte Flaschen pro Stunde) zu berechnen.
Alternative Begriffe: Harmonischer Mittelwert.
Beispiele
Beispiel 1: Harmonisches Mittel berechnen
Ein Bierbrauer hat 2 unterschiedliche Abfüllanlagen.
Die bessere Abfüllanlage 1 schafft in der Stunde 8.000 Flaschen.
Die schlechtere Abfüllanlage 2 benötigt die doppelte Zeit und schafft somit nur 4.000 Flaschen pro Stunde.
Frage
Der Bierbrauer möchte nun wissen, wie hoch die durchschnittliche Abfüllmenge ist.
Die Antwort auf die obige Frage gibt das harmonische Mittel.
Dabei geht man davon aus, dass dieselbe Menge, sagen wir 8.000 Flaschen, jeweils mit Abfüllanlage 1 und 2 hergestellt wird:
- Anlage 1 stellt die 8.000 Flaschen mit einer Rate von 8.000 Flaschen pro Stunde her, benötigt somit 1 Stunde;
- Anlage 2 stellt die 8.000 Flaschen mit einer Rate von 4.000 Flaschen pro Stunde her, benötigt somit 2 Stunden.
Es werden also 3 Stunden benötigt, um in Summe 16.000 Flaschen herzustellen.
Formel
Das harmonische Mittel als Formel:
$$\frac{1 \, Std \cdot 8.000 \, Fl / Std + 2 \, Std \cdot 4.000 \, Fl / Std}{1 \, Std + 2 \, Std}$$
$$= \frac{16.000 \,Fl}{3 \,Std}= 5.333,33 \,Fl / Std$$
Es werden also durchschnittlich 5.333,33 Flaschen je Stunde abgefüllt (16.000 Flaschen in 3 Stunden), wenn man mit beiden Anlagen dieselbe Menge herstellt (und nicht: die Anlagen dieselbe Zeit laufen lässt).
Harmonisches Mittel vs. arithmetisches Mittel
Wenn der Bierbrauer sich hingegen auf die gleiche Zeit (jeweils 1 Stunde) und nicht auf die gleiche Menge (jeweils 8.000 Flaschen) beziehen wollte, würde er das arithmetische Mittel („Durchschnitt“) berechnen:
(8.000 Flaschen + 4.000 Flaschen) / 2 Stunden = 12.000 Flaschen / 2 Stunden = 6.000 Flaschen pro Stunde.
Beispiel 2: Geschwindigkeit
Ein Autofahrer fährt die Strecke von 100 km auf der Autobahn von Regensburg nach Nürnberg mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h. Auf der Rückfahrt von Nürnberg nach Regensburg fährt er aufgrund des dichten Nebels nur mit 50 km/h.
Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?
Die Antwort gibt das harmonische Mittel: Der Autofahrer benötigt für die Hinfahrt 1 Stunde, für die Rückfahrt 2 Std.
$$\frac{1 \, Std \cdot 100 \, km / Std + 2 \, Std \cdot 50 \, km / Std}{1 \, Std + 2 \, Std}$$
$$\frac{200 \, km}{3 \, Std} = 66,7 \, km/h$$
Fazit
- Das harmonische Mittel ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte: x̅harm = n / ∑(1 / xi).
- Es wird eingesetzt, wenn Verhältniszahlen (z. B. km/h, Stück/Stunde) für gleiche Mengen – nicht gleiche Zeiten – gemittelt werden sollen.
- Das harmonische Mittel ist stets kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel, dieses kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.
- Bei gleichen Zeitintervallen ist das arithmetische Mittel, bei gleichen Strecken oder Mengen das harmonische Mittel die richtige Wahl.
Selbsttest: Harmonisches Mittel
Aufgabe: Harmonisches Mittel berechnen
Zwei Maschinen befüllen jeweils dieselbe Menge an Behältern. Maschine A schafft 600 Einheiten pro Stunde, Maschine B schafft 300 Einheiten pro Stunde. Berechnen Sie die durchschnittliche Produktionsrate, wenn beide Maschinen die gleiche Menge produzieren.
Ansatz: Beide Maschinen produzieren dieselbe Menge → harmonisches Mittel.
Formel: x̅harm = n / ∑(1 / xi) = 2 / (1 / 600 + 1 / 300)
Einsetzen: 2 / (0,001667 + 0,003333) = 2 / 0,005 = 400
Ergebnis: Die durchschnittliche Rate beträgt 400 Einheiten/Stunde.
Kontrolle: Beide produzieren z. B. 600 Einheiten: A braucht 1 h, B braucht 2 h → 1.200 Einheiten in 3 h = 400 Einheiten/h ✓