Definition
Streuungsmaße in der Statistik geben an, wie stark die einzelnen Datenwerte oder Messwerte streuen, das heißt, wie weit sie zum Beispiel von einem berechneten Mittelwert oder auch von einem Vorgabewert nach oben und unten abweichen.
Die Streuung muss dann je nach Fragestellung interpretiert werden.
Eine geringe Streuung (das heißt im Mittel geringe Abweichungen) kann zum Beispiel
- ein Maß für Qualität sein (wenn Spaltmaße beim Autobau betrachtet werden),
- ein Maß für Zuverlässigkeit (wenn die Pünktlichkeit von Verkehrsmitteln betrachtet wird),
- ein Maß für geringere Risiken (wenn die Streuung von Aktienkursen betrachtet wird) oder lediglich
- ein Maß für Abweichungen (ohne "Wertung").
Alternative Begriffe: Dispersionsmaße, Streubreite, Streumaße, Streuungsparameter.
Lernziele
Nach diesem Abschnitt können Sie …
- den Begriff Streuungsmaß erklären und von Lagemaßen abgrenzen.
- erläutern, warum bei der Streuungsmessung nicht einfach die Abweichungen vom Mittelwert summiert werden können und welche Lösungsansätze es gibt.
- die wichtigsten Streuungsmaße – Spannweite, Varianz und Standardabweichung – definieren und berechnen.
- das geeignete Streuungsmaß je nach Fragestellung und Skalenniveau auswählen.
Beispiele für Streuung
Beispiel 1
3 Menschen sind 1,70 m, 1,80 m und 1,90 m groß (im Mittel 1,80 m).
3 andere Menschen sind 1,79, 1,80 und 1,81 m groß — im Mittel ebenfalls 1,80 m, aber die Streuung ist viel geringer.
Um die Streuung zu quantifizieren, wäre es eigentlich naheliegend, die Abweichungen der einzelnen Messwerte vom Mittelwert zu messen und aufzusummieren; das ergibt nur leider immer 0 und lässt deshalb keine Aussage zu:
(1,70 - 1,80) + (1,80 - 1,80) + (1,90 - 1,80) = -0,10 + 0 + 0,10 = 0 bzw.
(1,79 - 1,80) + (1,80 - 1,80) + (1,81 - 1,80) = -0,01 + 0 + 0,01 = 0.
Um dieses Problem zu umgehen, verwendet man absolute Differenzen (mittlere absolute Abweichung) oder quadrierte Abweichungen (Varianz und daraus abgeleitet die Standardabweichung), wodurch größere Abweichungen stärker gewichtet werden.
Beispiel 2
Ein Unternehmen stellt mit 2 Maschinen Schrauben der Länge 5 cm her.
Maschine 1 produziert Schrauben, die tatsächlich zwischen 4,9 und 5,1 cm lang sind.
Die mit Maschine 2 hergestellten Schrauben liegen zwischen 4,8 cm und 5,2 cm. Sie streuen mehr, das ist schlecht für die Qualität bzw. erfordert eine aufwändigere Qualitätskontrolle.
Streuungsmaße Übersicht
Streuungsmaße sind
- SpannweiteDie einfachste Streuungskennzahl: Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert – schnell berechnet, aber anfällig für Ausreißer.
- InterquartilsabstandDifferenz zwischen drittem und erstem Quartil (Q3 − Q1) – gibt die Streuung der mittleren 50 % der Daten an und ist robust gegenüber Ausreißern.
- Mittlere absolute AbweichungDurchschnitt der absoluten Abstände aller Werte vom Mittelwert – intuitiv verständlich und robuster als die Varianz.
- VarianzDurchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert – reagiert stark auf Ausreißer; Grundlage für die Standardabweichung.
- StandardabweichungWurzel der Varianz – das gebräuchlichste Streuungsmaß, da es in der Einheit der Originaldaten angegeben wird.
- VariationskoeffizientRelative Streuung: Standardabweichung geteilt durch den Mittelwert – ermöglicht den Vergleich verschieden skalierter Datenreihen.
- EntropieStreuungsmaß für nominalskalierte Merkmale: misst die Vielfalt der Kategorien anhand der relativen Häufigkeiten.