Bedeutung
Wenn man (viele) Daten hat, kann man diese mit zwei Aspekten ganz gut komprimiert beschreiben: mit 1) Lagemaßen und 2) Streuungsmaßen.
Lagemaße der Statistik – auch Maße der zentralen Tendenz genannt – geben an, was in einer Datenmenge das Zentrum bzw. der Schwerpunkt ist, zum Beispiel der häufigste Wert oder der Durchschnitt.
Alternative Begriffe: Lageparameter.
Lernziele
Nach diesem Abschnitt können Sie …
- den Begriff Lagemaß erklären und von Streuungsmaßen abgrenzen.
- die wichtigsten Lagemaße – Median, Modalwert und arithmetisches Mittel – definieren und berechnen.
- das geeignete Lagemaß abhängig vom Skalenniveau (nominal, ordinal, metrisch) auswählen.
- die Anfälligkeit des arithmetischen Mittels gegenüber Ausreißern erkennen und alternative Lagemaße benennen.
Beispiel
Beispiel: Lagemaße und Streuungsmaße
Das Alter von drei Kindern im Kindergarten ist 2, 3 und 4 Jahre.
Das Alter von drei Studenten an der Universität ist 18, 25 und 32 Jahre.
Ein Lagemaß spiegelt nun komprimiert wider, dass das Alter im Kindergarten eine ganz andere Lage hat (vorne auf einem "Alterszeitstrahl") als das Studentenalter (weiter hinten auf dem Zeitstrahl). Das Gewicht von Melonen hat eine andere Lage als das von Zitronen und so weiter.
Ein Lagemaß ist der Durchschnitt bzw. Mittelwert: dieser ist
- für die Kinder (2 + 3 + 4 Jahre) / 3 = 9 Jahre / 3 = 3 Jahre und
- für die Studenten (18 + 25 + 32 Jahre) / 3 = 75 Jahre / 3 = 25 Jahre.
Das Lagemaß Mittelwert macht die Lage der Daten deutlich: dass es sich im ersten Fall um sehr junge Menschen (Kinder) und im zweiten Fall um junge Menschen handelt.
Ein Streuungsmaß hingegen spiegelt wider, wie weit die Alter der drei Kinder (wenig) bzw. der drei Studenten (mehr) streuen, das heißt auseinanderliegen.
Lagemaße Übersicht
Lagemaße sind:
- Median (Zentralwert)Der mittlere Wert einer sortierten Datenreihe – robust gegenüber Ausreißern und besonders geeignet für schief verteilte Daten.
- Modalwert (Modus)Der häufigste Wert in einer Datenmenge – das einzige Lagemäß, das auch für nominale Merkmale wie Farben oder Kategorien berechnet werden kann.
- (Arithmetischer) MittelwertDer klassische Durchschnitt: Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl – anschaulich, aber anfällig für Ausreißer.
- Geometrisches MittelGeeignet für Wachstumsfaktoren und Renditen – berechnet als n-te Wurzel aus dem Produkt aller Werte.
- Quadratisches MittelRoot Mean Square (RMS) – quadriert die Werte vor der Mittelung; wird vor allem in Physik und Elektrotechnik eingesetzt.
- Harmonisches MittelDas Mittel der Kehrwerte – richtig für Durchschnittsgeschwindigkeiten oder -preise, wenn die Strecken bzw. Mengen gleich sind.
- QuantileTeilen eine sortierte Datenmenge in gleich große Anteile – das p-Quantil gibt den Wert an, unter dem p % der Daten liegen.
- QuartileSpezialfall der Quantile: teilen die Daten in vier Viertel (Q1, Q2 = Median, Q3) – Grundlage des Interquartilsabstands und des Boxplots.
- DezileTeilen die Daten in zehn gleich große Zehntel – häufig eingesetzt in Einkommens- und Vermögensstatistiken.
- PerzentileTeilen die Daten in 100 Hundertstel – P50 entspricht dem Median, P75 dem dritten Quartil; Grundlage vieler Normdaten (z. B. Wachstumskurven).
- BoxplotVisualisiert fünf Lagemäße auf einen Blick: Minimum, 1. Quartil, Median, 3. Quartil und Maximum – ideal für den Vergleich von Verteilungen.
Lagemaße abhängig vom Skalenniveau
Welche Lagemaße verwendet werden können, hängt unter anderem vom Skalenniveau des untersuchten Merkmals ab:
- der Modalwert (häufigster Wert) geht bereits bei nominalen Merkmalen (zum Beispiel Farben wie rot, grün, blau);
- der Median (teilt die Verteilung in der Mitte) benötigt zumindest ordinal skalierte Merkmale (Rangskala, zum Beispiel gut – mittel – schlecht);
- die Berechnung von Mittelwerten setzt eine Intervallskala voraus (wie beim Alter oben, hier konnte man das Durchschnittsalter berechnen).
Kontrolle
Hat man Lagemaße entsprechend der Formeln berechnet, sollte man noch einmal prüfen, ob die berechneten Werte wirklich die Daten komprimiert widerspiegeln; so kann der arithmetische Mittelwert etwa durch Ausreißer (Extremwerte) beeinträchtigt sein oder der Median kann für 2 ganz unterschiedliche Datenreihen identisch sein.