De Morgansche Regeln
De Morgansche Regeln Definition
Die De Morganschen Regeln besagen für zwei Mengen A und B:
$$\overline {A \cup B} = \overline A \cap \overline B $$
In Worten:
Das Komplement der Vereinigungsmenge der Menge A und der Menge B entspricht der Schnittmenge aus dem Komplement der Menge A und dem Komplement der Menge B.
Und:
$$\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B $$
In Worten:
Das Komplement der Schnittmenge aus der Menge A und der Menge B entspricht der Vereinigungsmenge aus dem Komplement der Menge A und dem Komplement der Menge B.
Beispiel
Beispiel De Morgansche Regeln
Die Grundmenge sei {1, 2, 3, 4, 5, 6}, zum Beispiel die Augenzahlen eines Würfels.
Die Menge A sei {1, 3, 5}, die ungeraden Augenzahlen.
Die Menge B sei {4, 5, 6}, die Augenzahlen >= 4.
Dann gilt nach der ersten De Morganschen Regel:
$$\overline {A \cup B} = \overline A \cap \overline B $$
Mit Zwischenschritten:
$${A \cup B} = \{1, 3, 5\} \cup \{4, 5, 6\} = \{1, 3, 4, 5, 6\}$$
Das Komplement dieser Vereinigungsmenge ist die Grundmenge ohne die Vereinigungsmenge:
$$\overline {A \cup B} = \{2\}$$
Das soll der rechten Seite der ersten Regel entsprechen:
$$\overline A \cap \overline B = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 2, 3\} = \{2\}$$