Definition
Eine (mathematische) Definition von Wahrscheinlichkeiten ist schwierig; der Mathematiker Kolmogorov (der Name wird teilweise auch Kolmogoroff oder Kolmogorow geschrieben) hat sich damit beholfen, einfach bestimmte Anforderungen an Wahrscheinlichkeiten zu stellen.
Diese axiomatische Methode ist in der Mathematik gang und gäbe. Es werden grundlegende Annahmen getroffen bzw. Forderungen gestellt (und nicht bewiesen oder abgeleitet), auf diesem Fundament baut alles weitere auf.
Alternative Begriffe: Axiome der Wahrscheinlichkeit, Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Axiomensystem von Kolmogorov, Kolmogorov-Wahrscheinlichkeit.
3 Axiome
Nach Kolmogorov gelten für Wahrscheinlichkeiten die folgenden – uns selbstverständlich erscheinenden – 3 Axiome:
1. Nichtnegativität
Wahrscheinlichkeiten sind >= 0 (Wahrscheinlichkeiten sind 0 oder positiv, sogenannte Nichtnegativität).
Es gibt also keine negativen Wahrscheinlichkeiten wie etwa -1/6 beim Würfeln.
Wenn man die Wahrscheinlichkeit haben möchte, dass ein Ereignis nicht eintritt, berechnet man die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (Beispiel Würfel: Keine 6 würfeln heißt, eine 1, 2, 3, 4 oder 5 zu würfeln).
2. Normiertheit
Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1 (sogenannte Normiertheit; beim Würfeln wäre das sichere Ereignis beispielsweise, eine Zahl zwischen 1 und 6 zu würfeln).
Statt 1 sagen wir auch oft 100 %.
Aufgrund der Axiome 1 und 2 liegen die Wahrscheinlichkeiten somit im Bereich zwischen 0 und 1 bzw. 0 % und 100 %.
3. Additivität
Unter der Voraussetzung, dass sich ein Ereignis in disjunkte Teilereignisse (disjunkt: sie besitzen keine gemeinsamen Elemente bzw. die Schnittmenge ist Null) zerlegen lässt, können die Wahrscheinlichkeiten der disjunkten Teilereignisse addiert werden, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu erhalten, sogenannte Additivität.
Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, eine 2 oder 4 zu würfeln ist 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Mit dieser von Kolmogorov definierten Wahrscheinlichkeit arbeiten wir in der Regel (ohne dass wir uns dessen bewusst sind bzw. der Name Kolmogorov fällt).
Fazit
- Die Kolmogorov-Axiome definieren Wahrscheinlichkeiten axiomatisch: Statt einer Definition werden drei grundlegende Anforderungen gestellt, auf denen die gesamte Wahrscheinlichkeitsrechnung aufbaut.
- 1. Nichtnegativität: P(A) ≥ 0 — es gibt keine negativen Wahrscheinlichkeiten.
- 2. Normiertheit: P(Ω) = 1 — das sichere Ereignis hat Wahrscheinlichkeit 1.
- 3. Additivität: Für disjunkte Ereignisse A, B gilt P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- Aus Axiom 1 und 2 folgt unmittelbar: 0 ≤ P(A) ≤ 1 für jedes Ereignis A.
Selbsttest: Kolmogorov-Axiome
Aufgabe: Kolmogorov-Axiome anwenden
Gegeben sei ein fairer sechsseitiger Würfel mit Ergebnisraum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und P({k}) = 1/6 für jedes k ∈ Ω.
Sei A = {1, 2, 3} (Augenzahl höchstens 3) und B = {4, 5} (Augenzahl 4 oder 5).
a) Berechnen Sie P(A) und P(B) mithilfe des 3. Axioms (Additivität).
b) Berechnen Sie P(A ∪ B). Begründen Sie, warum das 3. Axiom anwendbar ist.
c) Prüfen Sie, ob P(A ∪ B) mit den Axiomen 1 und 2 von Kolmogorov vereinbar ist.
a) P(A) und P(B):
A = {1} ∪ {2} ∪ {3} — paarweise disjunkte Teilereignisse.
P(A) = P({1}) + P({2}) + P({3}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
B = {4} ∪ {5} — ebenfalls paarweise disjunkt.
P(B) = P({4}) + P({5}) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
b) P(A ∪ B):
A ∩ B = ∅ → A und B sind disjunkt → 3. Axiom anwendbar.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
c) Konsistenz mit Axiomen 1 und 2:
5/6 ≥ 0 ✓ (1. Axiom: Nichtnegativität erfüllt)
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} ≠ Ω, also kein sicheres Ereignis → P = 5/6 < 1 ✓ (konsistent mit Axiom 2)