Definition
Mit der linearen Transformation kann eine Variable X (zum Beispiel ein Merkmalswert oder eine Zufallsvariable) in eine andere Variable Y überführt werden.
Die Transformationsvorschrift lautet allgemein: Y = a + b × X.
In Worten: die Daten (X) werden mit einem positiven Faktor (b) multipliziert und es wird ein Term (a) hinzuaddiert (wobei dieser Term a auch 0 sein kann, so dass in dem Fall nur mit einem Faktor multipliziert wird; ebenso kann b auch 1 sein, so dass effektiv keine Faktor-Multiplikation stattfindet).
Die lineare Transformation kann auf Intervallskalen angewandt werden.
Die Lineartransformation führt dazu, dass die Rangfolge und – falls a gleich 0 ist (was im Beispiel unten nicht der Fall ist) – auch die relativen Abstände beibehalten werden.
Alternative Begriffe: Lineartransformation, Positive lineare Transformation.
Beispiel
Beispiel: lineare Transformation vornehmen
Für die Temperaturmessung werden Grad Fahrenheit mit folgender Formel in Grad Celsius umgewandelt: Grad Celsius = (Grad Fahrenheit - 32) / 1,8.
In die Form der obigen allgemeinen Transformationsvorschrift gebracht:
Y (Grad Celsius) = -32/1,8 + (1/1,8) × X (Grad Fahrenheit).
Zum Beispiel Umrechnung von 50 Grad Fahrenheit: Y = - 32/1,8 + (1/1,8) × 50 = 10 Grad Celsius.
Wenn man die Umrechnung noch für zum Beispiel 100 Grad Fahrenheit und 200 Grad Fahrenheit macht, kommt man auf gerundet 37,8 Grad Celsius und 93,3 Grad Celsius.
Die Rangfolge der Temperaturen von kalt zu heiß ist in Fahrenheit (50 – 100 – 200) und Celsius (10 – 37,8 – 93,3) gleich (das können natürlich keine Außentemperaturen auf der Erde sein ...).
Und man kann sagen, dass die Differenz zwischen 200 und 100 Grad Fahrenheit größer ist als die zwischen 100 und 50 Grad Fahrenheit und das gilt analog für die Celsius-Daten: die Differenz zwischen 93,3 und 37,8 Grad Celsius ist größer als die zwischen 37,8 und 10 Grad Celsius.
Die Form der Verteilung der Daten sieht auch nach einer linearen Transformation gleich aus: eine Glockenkurve bleibt eine Glockenkurve, ein abfallendes Gebirge bleibt ein abfallendes Gebirge und so weiter.
Selbsttest: Lineare Transformation
Aufgabe: Rohwerte auf IQ-Skala transformieren
Ein Intelligenztest liefert Rohwerte (zum Beispiel Anzahl der Punkte bei einem Test) mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10. Diese sollen mit der linearen Transformation
IQ = 100 + 1,5 · (Rohwert − 50)
auf eine neue Skala übertragen werden. Bestimme:
- Die Werte a und b der Transformation in der Form y = a + b · x.
- Den IQ-Wert für die Rohwerte 30, 50 und 65.
- Ob die Rangfolge der Probanden nach der Transformation erhalten bleibt.
1. Parameter der linearen Transformation:
IQ = 100 + 1,5 · (x − 50) = 100 − 75 + 1,5 · x = 25 + 1,5 · x
⇒ a = 25, b = 1,5
2. IQ-Werte:
| Rohwert | Rechnung | IQ |
|---|---|---|
| 30 | 25 + 1,5 · 30 | 70 |
| 50 | 25 + 1,5 · 50 | 100 |
| 65 | 25 + 1,5 · 65 | 122,5 |
3. Rangfolge:
Da b = 1,5 > 0, ist die Transformation ordnungserhaltend – die Rangfolge der Probanden bleibt identisch erhalten.